Estremi assoluti di funzione a due variabili in dominio
Ciao a tutti! Ho un dubbio su questa ricerca degli estremi assoluti:
$h(x,y)=xy-2x-3y$ sull'insieme $D={(x,y), x>=1, y>=1, xy<=9}$
Se faccio le derivate prime per x e per y ottengo $y=2$ e $x=3$
Ma come faccio a trovare gli estremi assoluti rispettando quel dominio?
$h(x,y)=xy-2x-3y$ sull'insieme $D={(x,y), x>=1, y>=1, xy<=9}$
Se faccio le derivate prime per x e per y ottengo $y=2$ e $x=3$
Ma come faccio a trovare gli estremi assoluti rispettando quel dominio?
Risposte
Prima di tutto disegnati il dominio...
Vedrai che $D$ e' un chiuso e limitato di $R^2$ allora D e' un compatto.
Inoltre la funzione $h$ e' di classe $C^(+\infty$ allora (Per il teorema di W.) $h$ ammette max e min assoluti su D
Sappiamo inoltre che per i punti interni a D una condizione necessaria (ma non sufficiente) per avere un punto stazionari e' che si annulli il gradiente (Sempre perche' la funzione e' di classe $C^(+\infty$ ))
quindi tu hai scoperto che un possibile punto di estremo assoluto e' (3,2)
Prova ora a cercare punti di max e min sulla frontiera di $D$ (lungo il bordo), magari parametrizzando a pezzi la frontiera o con osservazioni tue...
Vedrai che $D$ e' un chiuso e limitato di $R^2$ allora D e' un compatto.
Inoltre la funzione $h$ e' di classe $C^(+\infty$ allora (Per il teorema di W.) $h$ ammette max e min assoluti su D
Sappiamo inoltre che per i punti interni a D una condizione necessaria (ma non sufficiente) per avere un punto stazionari e' che si annulli il gradiente (Sempre perche' la funzione e' di classe $C^(+\infty$ ))
quindi tu hai scoperto che un possibile punto di estremo assoluto e' (3,2)
Prova ora a cercare punti di max e min sulla frontiera di $D$ (lungo il bordo), magari parametrizzando a pezzi la frontiera o con osservazioni tue...
Sembrerà una cosa stupida ma per trovare il dominio io con le prime due relazioni capisco che mi trovo nel quadrante in alto a destra spostato di 1 a dx e in alto, poi però xy≤9 non riesco ad inserirlo per chiudere il dominio.
prova a disegnare $xy=9$ ..
cosa e'??? un iperbole equilatera...(purtroppo con questo compiuter non rieco a farti un disegno)
cosa e'??? un iperbole equilatera...(purtroppo con questo compiuter non rieco a farti un disegno)
Ok mi stavo perdendo in un bicchier d'acqua...ok ora ho trovato il grafico e i punti di frontiera
quindi con $y=(1)$ si ha $x=(-3)$ e quindi $B(-3,1)$
con $x=(1)$ si ha $y=(-1)$ e quindi $C(1,-1)$
Ora per il quarto punto di frontiera devo porre $y=(9/x)$ o altro?
Come faccio a capire quali sono massimi e quali minimi?
quindi con $y=(1)$ si ha $x=(-3)$ e quindi $B(-3,1)$
con $x=(1)$ si ha $y=(-1)$ e quindi $C(1,-1)$
Ora per il quarto punto di frontiera devo porre $y=(9/x)$ o altro?
Come faccio a capire quali sono massimi e quali minimi?
non capisco quello che hai fatto....
Sulla retta y=1 ristretta al domino D la funzione diventa$ h(x,1)=-x-3 $ e ha punti di estremo assoluto in x=1 e x=9
Allora $(1,1)$ e $(9,1)$ sono altri due punti oltre $(3,2)$ che possono essere estremi assoluti.
fai in modo analogo per le altre due parti della frontiera.
Ottieni cosi' $P_1,P_2,....,P_n$possibili punti di estremo assoluto.
poi calcoli $f(P_1),...,f(P_n)$ e il punto di massimo assoluto e' $P_i$ tale che $f(P_i)$ e' il valore piu' grande
e il punto di minimo assoluto e' $P_j$ tale che $f(P_j)$ e' il valore piu' piccolo
Sulla retta y=1 ristretta al domino D la funzione diventa$ h(x,1)=-x-3 $ e ha punti di estremo assoluto in x=1 e x=9
Allora $(1,1)$ e $(9,1)$ sono altri due punti oltre $(3,2)$ che possono essere estremi assoluti.
fai in modo analogo per le altre due parti della frontiera.
Ottieni cosi' $P_1,P_2,....,P_n$possibili punti di estremo assoluto.
poi calcoli $f(P_1),...,f(P_n)$ e il punto di massimo assoluto e' $P_i$ tale che $f(P_i)$ e' il valore piu' grande
e il punto di minimo assoluto e' $P_j$ tale che $f(P_j)$ e' il valore piu' piccolo
Ma scusa come mai nella prima equazione ottieni x=1 e x=9? se io sostituisco y=1 all'equazione iniziale ottengo x=-3
ma cosa e' quel x=-3.... devi calcolre i punti stazionari di $ h(x,1)=-x-3 $ con $(x,1) in D$
prova a farlo..
prova a farlo..
Ok allora ho dei problemi a calcolare i punti stazionari, non sono quei punti per i quali la derivata prima è uguale a 0? Riusciresti a mostrarmi la procedura per calcolarli?
1) Noi cerchiamo max e min e non punti stazionari (anche io l'ho usato e posso averti confuso )..
2)la derivata prima di -x-3 direi che fa -1 e non si annulla mai
3)Noi pero' cerchiamo i max e min di $f(x)=−x−3 $ con $x in [1,9]$ ed essendo $f$ decrescente ha max in x=1 e min in x=9
2)la derivata prima di -x-3 direi che fa -1 e non si annulla mai
3)Noi pero' cerchiamo i max e min di $f(x)=−x−3 $ con $x in [1,9]$ ed essendo $f$ decrescente ha max in x=1 e min in x=9
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