Estremi assoluti di due funzioni a due variabili
Devo determinare gli estremi assoluti delle funzioni $f(x,y)=x^2+y^2$ e $g(x,y)=x^2+2y^2$ nell'insieme di definizione $Q$=quadrato di vertici $(pm1;0)$,$(0;pm1)$, comprendente i lati.
La regione interna l'ho già studiata ed ho trovato $minf=0=f(0;0)$ e $ming=0=g(0;0)$.
Per studiare la frontiera devo parametrizzare i lati del rombo Q.
Considerata la costruzione http://img801.imageshack.us/i/catturasz.jpg/
Queste parametrizzazioni sono corrette?
$AB->y(t)=1-t$
$BC->y(t)=-1+t$
$CD->y(t)=-1-t$
$DA->y(t)=1+t$
Se sono corrette, come devo continuare? devo derivare ogni lato e imporre la derivata pari a $0$? mi sono bloccata...
Se così fosse:
$AB->y(t)=1-t->y'(t)=-1$
$BC->y(t)=-1+t->y'(t)=1$
$CD->y(t)=-1-t->y'(t)=-1$
$DA->y(t)=1+t->y'(t)=1$
e poi?ho una confusione in testa assurda!
La regione interna l'ho già studiata ed ho trovato $minf=0=f(0;0)$ e $ming=0=g(0;0)$.
Per studiare la frontiera devo parametrizzare i lati del rombo Q.
Considerata la costruzione http://img801.imageshack.us/i/catturasz.jpg/
Queste parametrizzazioni sono corrette?
$AB->y(t)=1-t$
$BC->y(t)=-1+t$
$CD->y(t)=-1-t$
$DA->y(t)=1+t$
Se sono corrette, come devo continuare? devo derivare ogni lato e imporre la derivata pari a $0$? mi sono bloccata...
Se così fosse:
$AB->y(t)=1-t->y'(t)=-1$
$BC->y(t)=-1+t->y'(t)=1$
$CD->y(t)=-1-t->y'(t)=-1$
$DA->y(t)=1+t->y'(t)=1$
e poi?ho una confusione in testa assurda!
Risposte
Una parametrizzazione è una funzione vettoriale da $RR$ in $RR^2$ (in questo caso, visto che il tuo dominio sta in $RR^2$), quelle che hai scritto tu sono funzioni da $RR$ in $RR$.
La curva che descrive il lato che giace nel primo quadrante potrebbe essere $ul(phi)(t)=(1-t,t)$, puoi controllare notando che per $t=0$ il punto individuato è $(1,0)$ mentre per $t=1$ hai $(0,1)$. Ora sostituisci nella funzione al posto di $x$ la prima coordinata di $ul(phi)$ e al posto di $y$ la seconda.
Ottieni (per $f$) $f(ul(phi)(t))=f_t(t)=1+2t^2-2t$, da cui $f_t'(t)=4t-2=0 <=> t=1/2$, quindi il punto stazionario su questo lato è in $t=1/2$, dove la funzione vale $f_t(1/2)=f(1/2,1/2)=1/2$.
Spero ti sia un po' più chiaro, ora controlla gli altri lati!
La curva che descrive il lato che giace nel primo quadrante potrebbe essere $ul(phi)(t)=(1-t,t)$, puoi controllare notando che per $t=0$ il punto individuato è $(1,0)$ mentre per $t=1$ hai $(0,1)$. Ora sostituisci nella funzione al posto di $x$ la prima coordinata di $ul(phi)$ e al posto di $y$ la seconda.
Ottieni (per $f$) $f(ul(phi)(t))=f_t(t)=1+2t^2-2t$, da cui $f_t'(t)=4t-2=0 <=> t=1/2$, quindi il punto stazionario su questo lato è in $t=1/2$, dove la funzione vale $f_t(1/2)=f(1/2,1/2)=1/2$.
Spero ti sia un po' più chiaro, ora controlla gli altri lati!
Ciao Giuly, ho fatto come mi hai detto, ma tutti i punti stazionari risultano essere $f_t=1/2$
Per AB $f(ul(phi)(t))=1+2t^2-2t$, da cui $f'(ul(phi)(t))=4t-2=0 <=> t=1/2$
Per BC $f(ul(phi)(t))=1+2t^2+2t$, da cui $f'(ul(phi)(t))=4t+2=0 <=> t=-1/2$
Per CD $f(ul(phi)(t))=1+2t^2-2t$, da cui $f'(ul(phi)(t))=4t-2=0 <=> t=1/2$
Per DA $f(ul(phi)(t))=1+2t^2+2t$, da cui $f'(ul(phi)(t))=4t+2=0 <=> t=-1/2$
In ogni caso avrò sempre $f(ul(phi)(t))_t=1/2$ mentre il libro definisce $maxf=1=f(pm1;0)=f(0;pm1)$
Per AB $f(ul(phi)(t))=1+2t^2-2t$, da cui $f'(ul(phi)(t))=4t-2=0 <=> t=1/2$
Per BC $f(ul(phi)(t))=1+2t^2+2t$, da cui $f'(ul(phi)(t))=4t+2=0 <=> t=-1/2$
Per CD $f(ul(phi)(t))=1+2t^2-2t$, da cui $f'(ul(phi)(t))=4t-2=0 <=> t=1/2$
Per DA $f(ul(phi)(t))=1+2t^2+2t$, da cui $f'(ul(phi)(t))=4t+2=0 <=> t=-1/2$
In ogni caso avrò sempre $f(ul(phi)(t))_t=1/2$ mentre il libro definisce $maxf=1=f(pm1;0)=f(0;pm1)$
Vuol dire che i punti stazionari che hai trovati sui lati sono dei minimi.
Per vederlo ti basta guardare il segno della derivata, che è (per il lato che ho controllato io) $<0$ per $t<1/2$ e $>0$ per $t>1/2$.
Ma se la funzione è continua in un compatto (in questo caso $[0,1]$) cosa ti dice il teorema di Weierstrass? Che se il massimo assoluto non è interno all'intervallo, allora dove sta?
Per vederlo ti basta guardare il segno della derivata, che è (per il lato che ho controllato io) $<0$ per $t<1/2$ e $>0$ per $t>1/2$.
Ma se la funzione è continua in un compatto (in questo caso $[0,1]$) cosa ti dice il teorema di Weierstrass? Che se il massimo assoluto non è interno all'intervallo, allora dove sta?
Per Weierstrass una funzione continua in un compatto ammette un minimo e un massimo e a questo punto ne deduco che se questi non sono all'interno dell'intervallo, allora coincidono proprio con gli estremi!grazie 
sempre gentilissima e disponibilissima!
sempre gentilissima e disponibilissima!
Un'ultima domanda: se mi chiede di studiare l'insieme $M=E\\C_1^0$ e $N=C_1\\Q^0$ con
E=dominio limitato la cui frontiera è l'ellisse di equazione $x^2/4+y^2=1$
C_1=cerchio chiuso di raggio 1 col centro nell'origine
Q=quadrato di vertici $(pm1;0),(0;pm1)$, comprendente i lati,
devo studiare prima l'insieme più grande e trovare i punti critici e poi studiare entrambe le frontiere? oppure c'è un modo per studiare direttamente la differenza degli insiemi?
E=dominio limitato la cui frontiera è l'ellisse di equazione $x^2/4+y^2=1$
C_1=cerchio chiuso di raggio 1 col centro nell'origine
Q=quadrato di vertici $(pm1;0),(0;pm1)$, comprendente i lati,
devo studiare prima l'insieme più grande e trovare i punti critici e poi studiare entrambe le frontiere? oppure c'è un modo per studiare direttamente la differenza degli insiemi?
Beh se ti fai un disegnino dei due insiemi e guardi quando i bordi dell'insieme a cui devi restringere la funzione sono delimitati dall'uno piuttosto che dall'altro, secondo me conviene.
Mi spiego meglio: parametrizzi entrambe le curve, però poi quando vai a studiare la funzione su di quelle guardi dal disegno più o meno fino a dove devi arrivare.
Per esempio per l'ellisse e il quadrato hai che il quadrato sta tutto all'interno dell'ellisse. A quel punto le frontiere te le devi studiare tutte e due. Per i punti stazionari invece potresti provare a scrivere l'equazione di quella porzione di piano. (ma secondo me fai prima a trovarli e vedere se stanno dentro o no. Non dovrebbe essere difficile)
Ps: sono un ragazzo!
Mi spiego meglio: parametrizzi entrambe le curve, però poi quando vai a studiare la funzione su di quelle guardi dal disegno più o meno fino a dove devi arrivare.
Per esempio per l'ellisse e il quadrato hai che il quadrato sta tutto all'interno dell'ellisse. A quel punto le frontiere te le devi studiare tutte e due. Per i punti stazionari invece potresti provare a scrivere l'equazione di quella porzione di piano. (ma secondo me fai prima a trovarli e vedere se stanno dentro o no. Non dovrebbe essere difficile)
Ps: sono un ragazzo!
Ops scusami! :S comunque provo a svolgerli e ti faccio sapere!
tutto risolto, mi è bastato prendere i dati studiati precedentemente! thank you!
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