Estremi assoluti
ecco cosa mi è capitato all'esame
determinare gli eventuali estremi assoluti della funzione $ f(x,y)=x^2+(y-1)^2 $ ristretta all'insieme $ K={(x,y): x>=0;xy>=2sqrt(2) } $
io ho trovato come punti interni P=(0,1) il quale non l'ho considerato perchè appartiene al mio campo di scelta
poi sulla frontiera mi venivano calcoli abbastanza complicati e il risultato l'ho calcolato con Wolfram e se non ho sbagliato a parametrizzare mi viene
$ x=+-sqrt((sqrt(10)-sqrt(2)) ) $ la y senza calcolatrice mi sono rifiutato di calcolarla...escludendo a intuito il punto trovato dal mio campo di scelta
poi ho fatto il limite in coordinate polari
$ lim_(rho -> +oo ) rho^2cos?theta+rho^2sin^2theta+1-2rhosintheta=rho^2+1-2rhosintheta=+oo $
e sono arrivato alla conclusione che la mia funzione non ha estremi assoluti nella restrizione K
ho sbagliato molto di quello che ho fatto ?!?
determinare gli eventuali estremi assoluti della funzione $ f(x,y)=x^2+(y-1)^2 $ ristretta all'insieme $ K={(x,y): x>=0;xy>=2sqrt(2) } $
io ho trovato come punti interni P=(0,1) il quale non l'ho considerato perchè appartiene al mio campo di scelta
poi sulla frontiera mi venivano calcoli abbastanza complicati e il risultato l'ho calcolato con Wolfram e se non ho sbagliato a parametrizzare mi viene
$ x=+-sqrt((sqrt(10)-sqrt(2)) ) $ la y senza calcolatrice mi sono rifiutato di calcolarla...escludendo a intuito il punto trovato dal mio campo di scelta
poi ho fatto il limite in coordinate polari
$ lim_(rho -> +oo ) rho^2cos?theta+rho^2sin^2theta+1-2rhosintheta=rho^2+1-2rhosintheta=+oo $
e sono arrivato alla conclusione che la mia funzione non ha estremi assoluti nella restrizione K
ho sbagliato molto di quello che ho fatto ?!?
Risposte
Tu hai trovato che la tua funzione di sicuro non ha massimo assoluto, ma per quanto riguarda i minimi?
L'unico punto stazionario che ho trovato effettivamente è $(0,1)$ che non appartiene al dominio (se ho letto bene perchè si capisce poco), però studiando la funzione sulla frontiera un minimo lo trovo eccome, quindi essendo quella roba continua a differenziabile quante volte vuoi, ho paura che il minimo assoluto su quel dominio ci fosse.
Premetto che non sono abituato a fare questo tipo di esercizi, in ogni caso il punto incriminato che ho trovato è: $(8sqrt(2)/3,3/4)$ (potrei aver sbagliato i conti).
L'unico punto stazionario che ho trovato effettivamente è $(0,1)$ che non appartiene al dominio (se ho letto bene perchè si capisce poco), però studiando la funzione sulla frontiera un minimo lo trovo eccome, quindi essendo quella roba continua a differenziabile quante volte vuoi, ho paura che il minimo assoluto su quel dominio ci fosse.
Premetto che non sono abituato a fare questo tipo di esercizi, in ogni caso il punto incriminato che ho trovato è: $(8sqrt(2)/3,3/4)$ (potrei aver sbagliato i conti).
io per il calcolo sulla frontiera ho considerato solo la restrizione che stà nel primo quadrante perchè il testo dice x>0
cmq ho paramterizzato così $ y=(2sqrt(2))/x $ e $ x=x $ ottenendo $ f(x,y)=x^2+8/x^2+1-(4sqrt(2))/x $ e quindi la derivata prima è
$ f'(x,y)=2x-(16x)/x^4+(4xsqrt(2))/x^2 $
per x>0 si può riscrivere in questo modo (ponendo f'=0, ricerca dei punti critici)
$ x^4+2sqrt(2)x^2=8 $
a questo punto WolframAlpha mi dà che le reali soluzioni sono $ x=+-sqrt(sqrt(10)-sqrt(2) ) $ e devo considerare solo quella positiva...tu come hai fatto a trovare un risultato diverso...come hai calcolato il punto sulla frontiera...?!?
cmq ho paramterizzato così $ y=(2sqrt(2))/x $ e $ x=x $ ottenendo $ f(x,y)=x^2+8/x^2+1-(4sqrt(2))/x $ e quindi la derivata prima è
$ f'(x,y)=2x-(16x)/x^4+(4xsqrt(2))/x^2 $
per x>0 si può riscrivere in questo modo (ponendo f'=0, ricerca dei punti critici)
$ x^4+2sqrt(2)x^2=8 $
a questo punto WolframAlpha mi dà che le reali soluzioni sono $ x=+-sqrt(sqrt(10)-sqrt(2) ) $ e devo considerare solo quella positiva...tu come hai fatto a trovare un risultato diverso...come hai calcolato il punto sulla frontiera...?!?
All'inizio avevo fatto così, poi mi sono detto ma non sarà meglio fare $x=2sqrt(2)/y$ ? In effetti i conti si semplificano parecchio. Però potrei averli sbagliati comunque. Prova e fammi sapere. Disegnando la funzione in $y$ che ho trovato di minimo ce n'era solo uno abbastanza chiaro.
si hai ragione forse conveniva fare così...però a me torna diverso il risultato
$ f(x,y)=8/y^2+y^2+1-2y $
e
$ f'(x,y)=-16/y^3+2y-2 $
ora però se pongo f'=0 ottengo radici diverse da quella che hai trovato tu...
$ f(x,y)=8/y^2+y^2+1-2y $
e
$ f'(x,y)=-16/y^3+2y-2 $
ora però se pongo f'=0 ottengo radici diverse da quella che hai trovato tu...
Sì infatti avevo fatto un po' di casino con le derivate, il punto è molto più semplice, ora mi viene: $(sqrt(2),2)$.
a me viene (1;2)...perchè x=-1 la scarto dato che x>0...cavoli...come ho fatto a sbagliare...colpa della tensione dell'esame...
Non capisco come faccia a venirti quel punto, visto che non sta nè sulla frontiera, nè all'interno dell'insieme di restrizione della funzione.
ho scritto una cazzata...è giusto quello che hai trovato tu... 
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