Estremi assoluti
ciao...
non riesco a capire come si trovano gli estremi assoluti di una funzione a due variabili?
per esempio della funzione :
$f(x,y)= x^2*(1+2x)*(y-1)^2+ x^2-x-1$
non riesco a capire come si trovano gli estremi assoluti di una funzione a due variabili?
per esempio della funzione :
$f(x,y)= x^2*(1+2x)*(y-1)^2+ x^2-x-1$
Risposte
Calcoli il gradiente, trovi i punti stazionari, poi calcoli l'hessiana e vedi cosa accade in quei punti.
Ma leggere un libro con il criterio sui punti di massimo e minimo per funzioni di più variabili????
Ma leggere un libro con il criterio sui punti di massimo e minimo per funzioni di più variabili????
La tua funzione non ha estremi assoluti poichè non è limitata nè superiormente nè inferiormente: basta infatti prendere la restrizione $f|_(y=1)= x^2-x-1 _(|x|->oo)-> +oo$
Analogamente, $f|_(x=-1)=-(y-1)^2-1_(|y|->oo)->-oo$
Analogamente, $f|_(x=-1)=-(y-1)^2-1_(|y|->oo)->-oo$
ma in base a cosa scegli la restrizione y=1 o x=-1?
Ha preso due rette ortogonali lungo le quali fare il limite della funzione, poiché lungo entrambe tali rette il limite non è finito, la funzione non è limitata.
Bastava anche solo prenderne una, secondo me. Basta che non sia limitata lungo una retta per non essere limitata...
Bastava anche solo prenderne una, secondo me. Basta che non sia limitata lungo una retta per non essere limitata...
ma perchè l'esercizio invece viene risolto facendo la restrizione per y=2?
E' una retta come altre... Forse ha scelto $y=2$ perché così viene
$2x^3+2x^2-x-1$, e visto che il termine dominante, quando $x->\pm infty$, è $2x^3$,
il limite a $+oo$ fa $+oo$ e quello a $-oo$ fa $-oo$, di conseguenza si vede subito che
la funzione non è limitata né superiormente né inferiormente.
Il punto è: se si riesce a trovare una retta lungo la quale il limite della funzione sia più infinito, e un'altra
retta lungo la quale il limite sia meno infinito, sicuramente si ha che la funzione non è limitata.
Se poi se ne trova una lungo la quale il limite è sia meno che più infinito, come in questo caso $y=2$, tanto meglio. Tutto qui.
$2x^3+2x^2-x-1$, e visto che il termine dominante, quando $x->\pm infty$, è $2x^3$,
il limite a $+oo$ fa $+oo$ e quello a $-oo$ fa $-oo$, di conseguenza si vede subito che
la funzione non è limitata né superiormente né inferiormente.
Il punto è: se si riesce a trovare una retta lungo la quale il limite della funzione sia più infinito, e un'altra
retta lungo la quale il limite sia meno infinito, sicuramente si ha che la funzione non è limitata.
Se poi se ne trova una lungo la quale il limite è sia meno che più infinito, come in questo caso $y=2$, tanto meglio. Tutto qui.
ma quindi non è obbligatorio studiare se la funzione ha estremi assoluti nel punto di estremo relativo trovato?
per esempio in questo caso l'estremo relativo è A(1/2,1)....non avrei tipo dovuto fare il limite per tale estremo?
esempio:
lim per y a infinito di f(1/2,y)...?
per esempio in questo caso l'estremo relativo è A(1/2,1)....non avrei tipo dovuto fare il limite per tale estremo?
esempio:
lim per y a infinito di f(1/2,y)...?
Non ho capito bene la tua ultima domanda.
Comunque il punto è che se la tua $f(x,y)$ presenta una restrizione per cui la funzione tende a $+infty$ (rispettivamente: $-\infty$), allora l'estremo superiore (rispettivamente: inferiore) della funzione $f(x,y)$ è $+\infty$ (rispettivamente: $-\infty$).
Comunque il punto è che se la tua $f(x,y)$ presenta una restrizione per cui la funzione tende a $+infty$ (rispettivamente: $-\infty$), allora l'estremo superiore (rispettivamente: inferiore) della funzione $f(x,y)$ è $+\infty$ (rispettivamente: $-\infty$).
ok si quello l'ho capito.... però nel testo dell'esercizio mi dice:
' abbiamo visto che l'unico estremo relativo di f è il punto A. Dobbiamo capire se A è un punto di minimo assoluto.'
quindi quello che mi chiedo è....non bisogna calcolare il limite in base alle coordinate di tale punto?in modo tale che si vede non tanto se la funzione ha estremi assoluti, ma se la funzione in tale punto ha un estremo assoluto?
' abbiamo visto che l'unico estremo relativo di f è il punto A. Dobbiamo capire se A è un punto di minimo assoluto.'
quindi quello che mi chiedo è....non bisogna calcolare il limite in base alle coordinate di tale punto?in modo tale che si vede non tanto se la funzione ha estremi assoluti, ma se la funzione in tale punto ha un estremo assoluto?
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