Estremi Assoluti
volevo un chiarimento riguardo la ricerca degli estremi assoluti in una funzione di due variabili, limitatamente alla frontiera di un dominio. Posto un esempio:
Ricercare gli estremi assoluti della funzione $f(x,y)=x^2-y^2$ nella regione delimitata dal triangolo di vertici (0,0),(3,1),(1,3).
Comincio col trovare i punti critici, dove si annulla il gradiente e mi accorgo che l'unico è (0,0).
Poi vado alla ricerca dei punti di non differenziabilità che in questo caso la funzione non presenta...
Inoltre vado a considerare i punti critici lungo la frontiera del triangolo...Parametrizzo il triangolo spezzettandolo in tre curve che non scrivo per semplicità, vado a sostituire questi valori alla funzione trovo i punti dove si annulla la derivata (che è in una sola variabile).
L'unico punto critico, che si ripete, lungo la frontiera è anche stavolta (0,0). Ora so che devono esistere per forza il massimo e il minimo.
Mi è stato detto che devo considerare anche i valori che la funzione assume lungo i vertici del triangolo... ed in tal caso otterrei 8 come massimo e -8 come minimo.
E' giusto questo? devo sempre considerare anche i vertici della frontiera (per esempio se ho un quadrato i quattro lati)???
Spero di essere stato chiaro, aspetto vostre delucidazioni
Ricercare gli estremi assoluti della funzione $f(x,y)=x^2-y^2$ nella regione delimitata dal triangolo di vertici (0,0),(3,1),(1,3).
Comincio col trovare i punti critici, dove si annulla il gradiente e mi accorgo che l'unico è (0,0).
Poi vado alla ricerca dei punti di non differenziabilità che in questo caso la funzione non presenta...
Inoltre vado a considerare i punti critici lungo la frontiera del triangolo...Parametrizzo il triangolo spezzettandolo in tre curve che non scrivo per semplicità, vado a sostituire questi valori alla funzione trovo i punti dove si annulla la derivata (che è in una sola variabile).
L'unico punto critico, che si ripete, lungo la frontiera è anche stavolta (0,0). Ora so che devono esistere per forza il massimo e il minimo.
Mi è stato detto che devo considerare anche i valori che la funzione assume lungo i vertici del triangolo... ed in tal caso otterrei 8 come massimo e -8 come minimo.
E' giusto questo? devo sempre considerare anche i vertici della frontiera (per esempio se ho un quadrato i quattro lati)???
Spero di essere stato chiaro, aspetto vostre delucidazioni
Risposte
Devi considerare i vertici a parte perché potrebbero essere punti di non regolarità.
non ho capito tanto. che significa punti di non regolarità?
Se $f(x,y) = 0$ e $g(x,y) = 0$ sono le equazioni delle frontiere di due vincoli, e $(x_0, y_0)$ è un punto di intersezione, tale punto è di non regolarità se $\nabla f(x_0, y_0)$ e $\nabla g(x_0, y_0)$ sono linearmente dipendenti.
Lo stesso accade se un certo punto è l'intersezione di più di due vincoli.
Lo stesso accade se un certo punto è l'intersezione di più di due vincoli.
ho capito teoricamente, ma non praticamente come lo devo applicare... per essere linearmente dipendenti vuol dire ke devono fare 0.
Come faccio a stabilire quali punti devo considerare potresti farmi capire in questo caso? te ne sarei grato
Come faccio a stabilire quali punti devo considerare potresti farmi capire in questo caso? te ne sarei grato
Mi rendo conto di averti confuso le idee, semplicemente perché in questo caso non ci sono punti di nonregolarità... Se consideri il punto $(1,3)$, questo è dato dall'intersezione di
$y - 3x = 0$
e
$y + x - 3 = 0$
e i gradienti valgono rispettivamente
$(-3,1)$ e $(1,1)$, ed ovviamente sono linearmente indipendenti. E questo vale anche per le altre coppie di rette. Quindi, per questo problema, non pensare ai punti di non regolarità.
Il fatto è che nel risolvere questo problema, tu ti restringi, ad ogni passo, ad un lato del triangolo. Ovvero, per studiare i punti sul lato avente equazione $y - 3x = 0$ tu studi la funzione $f(x,y) = x^2 - y^2$ nell'insieme $A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: y = 3x, 0 \le x \le 1\}$. Ma dato che $y=3x$, studiare questa funzione equivale a studiare la funzione di una variabile
$f(x) = -8x^2$
nel dominio
$B = \{x \in \mathbb{R}: 0 \le x \le 1\}$
Il dominio è compatto, la funzione è limitata, per il teorema di Weierstrass tale funzione ammette massimo e minimo assoluto. Ma come si cercano i massimi e minimi? Fra i punti che azzerano la derivata prima, fra quelli di non derivabilità e fra i punti che sono sul bordo dell'intervallo (e in questo caso l'intervallo è $[0,1]$).
$y - 3x = 0$
e
$y + x - 3 = 0$
e i gradienti valgono rispettivamente
$(-3,1)$ e $(1,1)$, ed ovviamente sono linearmente indipendenti. E questo vale anche per le altre coppie di rette. Quindi, per questo problema, non pensare ai punti di non regolarità.
Il fatto è che nel risolvere questo problema, tu ti restringi, ad ogni passo, ad un lato del triangolo. Ovvero, per studiare i punti sul lato avente equazione $y - 3x = 0$ tu studi la funzione $f(x,y) = x^2 - y^2$ nell'insieme $A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: y = 3x, 0 \le x \le 1\}$. Ma dato che $y=3x$, studiare questa funzione equivale a studiare la funzione di una variabile
$f(x) = -8x^2$
nel dominio
$B = \{x \in \mathbb{R}: 0 \le x \le 1\}$
Il dominio è compatto, la funzione è limitata, per il teorema di Weierstrass tale funzione ammette massimo e minimo assoluto. Ma come si cercano i massimi e minimi? Fra i punti che azzerano la derivata prima, fra quelli di non derivabilità e fra i punti che sono sul bordo dell'intervallo (e in questo caso l'intervallo è $[0,1]$).
ok credo di aver capito; considerando l'altra retta $x=3y$ o $y=1/3x$ a seconda di come si preferisce... ottengo lo studio della funzione. $f(t)=8t^2$ con $tin[0,1]$
Stessa cosa sull'altra retta (EDIT) che parametrizzo come $f(t)=( t , 4-t )$
trovo la funzione $f(t)=8t$ qui però $tin[1,3]$ quindi ottengo 24 che sarebbe il massimo è possibile?
Stessa cosa sull'altra retta (EDIT) che parametrizzo come $f(t)=( t , 4-t )$
trovo la funzione $f(t)=8t$ qui però $tin[1,3]$ quindi ottengo 24 che sarebbe il massimo è possibile?
"p4ngm4n":
Stessa cosa sull'altra retta dove trovo la funzione $f(t)=8t$ qui però $tin[1,3]$ quindi ottengo 24 come massimo è possibile?
No, perché se non ho sbagliato i conti, la retta che passa per $(1,3)$ e $(3,1)$ ha equazione $y = 4-x$, pertanto sostituendo nella funzione in due variabili si trova la funzione in una variabile
$f(x) = x^2 - (16 + x^2 - 8x) = 8x - 16$
da studiare nell'insieme $\{ x \in \mathbb{R}: 1 \le x \le 3\}$, e il massimo è sempre $8$.
si si hai perfettamente ragione... Siccome i conti li avevo fatti ieri non avevo fatto caso al 16...
Grazie per il tuo aiuto
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