Estremanti relativi in due variabili
Ciao a tutti,
avrei un dubbio riguardo al metodo di risoluzione degli esercizi circa il trovare gli estremanti relativi di una funzione in due variabili.
Ho capito il procedimento usando l'Hessiano, però il mio professore di Analisi 2 non sembra volere che venga usato l'Hessiano (nel libro non viene neanche citato), ma sembra voler usare le forme quadratiche. Ora io ho provato un po' ad informarmi in online per capire come risolvere questi esercizi con questo metodo, ma non sto trovando veramente nulla.
Per caso qualcuno di voi ha idea di come si faccia secondo questo metodo? Ho capito che ci sono teoremi che legano il segno della forma quadratica al fatto che un punto critico possa essere un estremante relativo, ma non ho idea di come tirare fuori la forma quadratica dalla funzione
avrei un dubbio riguardo al metodo di risoluzione degli esercizi circa il trovare gli estremanti relativi di una funzione in due variabili.
Ho capito il procedimento usando l'Hessiano, però il mio professore di Analisi 2 non sembra volere che venga usato l'Hessiano (nel libro non viene neanche citato), ma sembra voler usare le forme quadratiche. Ora io ho provato un po' ad informarmi in online per capire come risolvere questi esercizi con questo metodo, ma non sto trovando veramente nulla.
Per caso qualcuno di voi ha idea di come si faccia secondo questo metodo? Ho capito che ci sono teoremi che legano il segno della forma quadratica al fatto che un punto critico possa essere un estremante relativo, ma non ho idea di come tirare fuori la forma quadratica dalla funzione
Risposte
Ciao leonsirio,
Il differenziale secondo di una funzione di due variabili, calcolato in un punto $P_0(x_0, y_0) $, è una forma quadratica su $\RR^2 $ la cui matrice dei coefficienti $\mathbf A $ è la matrice hessiana della funzione nel punto $P_0$:
$q(h_1, h_2) = f_{x x}(x_0, y_0) h_1^2 + 2f_{xy}(x_0, y_0)h_1h_2 + f_{yy}(x_0, y_0)h_2^2 $
ove $\mathbf A = H_{f} (P_0) $
Per definizione una forma quadratica $ q(\mathbf h) $, $ \mathbf h := (h_1, h_2) \in \RR^2 $ si dice:
i) definita positiva (negativa) se si ha $ q(\mathbf h) > 0 \ \ ( < 0), \AA \mathbf h \ne \mathbf 0 $;
ii) semidefinita positiva (negativa) se $ \AA \mathbf h \ne \mathbf 0 $ si ha $ q(\mathbf h) \ge 0 \ \ ( \le 0) $ ed esiste $ \mathbf h \ne \mathbf 0 $ tale che $ q(\mathbf h) = 0 $;
iii) indefinita se esistono $\mathbf h_a $, $\mathbf h_b $ tali che $ q(\mathbf h_a) > 0 $ e $ q(\mathbf h_b) < 0 $
Se non si vuole ricorrere alla definizione di cui sopra, nel caso bidimensionale ad esempio
$q(h_1, h_2) = a h_1^2 + 2b h_1h_2 + c h_2^2 $
con $a := f_{x x}(x_0, y_0) $, $b := f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0)$ e $c := f_{yy}(x_0, y_0)$ non tutti nulli. La matrice associata è la seguente:
$\mathbf A = H_{f} (P_0) = [[a, b], [b, c]] $
Se $a = c = 0 $ allora $q$ è certamente indefinita: basta considerare il segno di $q$ sui due vettori $(1, 1) $ e $(- 1, 1) $. Se $a \ne 0 $ (nel caso $a = 0 $ , $c \ne 0 $ si procede in modo analogo), la forma quadratica si può scrivere nel modo seguente:
$q(h_1, h_2) = a (h_1 + b/a h_2)^2 + (ac - b^2)/a h_2^2 = a (h_1 + b/a h_2)^2 + (det \mathbf A)/a h_2^2 $
Da quest'ultima si deduce che se $a \ne 0 $ la forma quadratica $q(h_1, h_2) = a h_1^2 + 2b h_1h_2 + c h_2^2 $ è
i) definita positiva (negativa) se e solo se $ det \mathbf A > 0 $ e $a > 0 \ \ (a < 0) $;
ii) indefinita se e solo se $ det \mathbf A < 0 $;
iii) semidefinita positiva (negativa) se e solo se $ det \mathbf A = 0 $ e $a > 0 \ \ (a < 0) $
Se $a = 0 $ e $c \ne 0 $ nelle proposizioni di cui sopra occorre sostituire $a$ con $c$.
Riassumendo, se $z = f(x, y) $ è una funzione di due variabili, $P_0(x_0, y_0) $ un punto critico per $f$, $\mathbf A = H_{f} (P_0) $ la matrice hessiana di $f$ nel punto $P_0$, allora:
Il differenziale secondo di una funzione di due variabili, calcolato in un punto $P_0(x_0, y_0) $, è una forma quadratica su $\RR^2 $ la cui matrice dei coefficienti $\mathbf A $ è la matrice hessiana della funzione nel punto $P_0$:
$q(h_1, h_2) = f_{x x}(x_0, y_0) h_1^2 + 2f_{xy}(x_0, y_0)h_1h_2 + f_{yy}(x_0, y_0)h_2^2 $
ove $\mathbf A = H_{f} (P_0) $
Per definizione una forma quadratica $ q(\mathbf h) $, $ \mathbf h := (h_1, h_2) \in \RR^2 $ si dice:
i) definita positiva (negativa) se si ha $ q(\mathbf h) > 0 \ \ ( < 0), \AA \mathbf h \ne \mathbf 0 $;
ii) semidefinita positiva (negativa) se $ \AA \mathbf h \ne \mathbf 0 $ si ha $ q(\mathbf h) \ge 0 \ \ ( \le 0) $ ed esiste $ \mathbf h \ne \mathbf 0 $ tale che $ q(\mathbf h) = 0 $;
iii) indefinita se esistono $\mathbf h_a $, $\mathbf h_b $ tali che $ q(\mathbf h_a) > 0 $ e $ q(\mathbf h_b) < 0 $
Se non si vuole ricorrere alla definizione di cui sopra, nel caso bidimensionale ad esempio
$q(h_1, h_2) = a h_1^2 + 2b h_1h_2 + c h_2^2 $
con $a := f_{x x}(x_0, y_0) $, $b := f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0)$ e $c := f_{yy}(x_0, y_0)$ non tutti nulli. La matrice associata è la seguente:
$\mathbf A = H_{f} (P_0) = [[a, b], [b, c]] $
Se $a = c = 0 $ allora $q$ è certamente indefinita: basta considerare il segno di $q$ sui due vettori $(1, 1) $ e $(- 1, 1) $. Se $a \ne 0 $ (nel caso $a = 0 $ , $c \ne 0 $ si procede in modo analogo), la forma quadratica si può scrivere nel modo seguente:
$q(h_1, h_2) = a (h_1 + b/a h_2)^2 + (ac - b^2)/a h_2^2 = a (h_1 + b/a h_2)^2 + (det \mathbf A)/a h_2^2 $
Da quest'ultima si deduce che se $a \ne 0 $ la forma quadratica $q(h_1, h_2) = a h_1^2 + 2b h_1h_2 + c h_2^2 $ è
i) definita positiva (negativa) se e solo se $ det \mathbf A > 0 $ e $a > 0 \ \ (a < 0) $;
ii) indefinita se e solo se $ det \mathbf A < 0 $;
iii) semidefinita positiva (negativa) se e solo se $ det \mathbf A = 0 $ e $a > 0 \ \ (a < 0) $
Se $a = 0 $ e $c \ne 0 $ nelle proposizioni di cui sopra occorre sostituire $a$ con $c$.
Riassumendo, se $z = f(x, y) $ è una funzione di due variabili, $P_0(x_0, y_0) $ un punto critico per $f$, $\mathbf A = H_{f} (P_0) $ la matrice hessiana di $f$ nel punto $P_0$, allora:
| Se $ det H_{f} $ è... | e $f_{x x} $ è... | la forma quadratica è... | e il punto critico $P_0 $ è... |
|---|---|---|---|
| > 0 | definita positiva | un punto di minimo | > 0 |
| definita negativa | un punto di massimo | < 0 | |
| un punto di sella | = 0 | semidefinita |
Ciao, ti ringrazio per la risposta
Scusa il mio ritardo, ma ti volevo chiedere di preciso come si facesse senza l'uso dell'hessiano in quanto nel nostro libro non viene mai citato.
Inoltre nel caso bidimensionale a che cosa corrispondono h1 ed h2 nella forma quadratica
Grazie mille in anticipo
Scusa il mio ritardo, ma ti volevo chiedere di preciso come si facesse senza l'uso dell'hessiano in quanto nel nostro libro non viene mai citato.
Inoltre nel caso bidimensionale a che cosa corrispondono h1 ed h2 nella forma quadratica
Grazie mille in anticipo
"leonsirio":
Ciao, ti ringrazio per la risposta
Prego.
"leonsirio":
ti volevo chiedere di preciso come si facesse senza l'uso dell'hessiano in quanto nel nostro libro non viene mai citato.
Mi sembrava che fosse piuttosto evidente, ma se proprio dovessi specificarlo meglio i passi potrebbero essere i seguenti:
1) si calcolano $a$, $b$ e $c$ definiti come nel mio post precedente;
2) si calcola la quantità $ac - b^2 $, che di fatto è il determinante dell'hessiano nel punto $P_0 $, ma se non vuoi chiamarlo così ce ne faremo una ragione, non è poi così rilevante;
3) si usa la tabella del mio primo post con titolo della prima colonna $ac - b^2 $ invece di $det H_f $...
"leonsirio":
Inoltre nel caso bidimensionale a che cosa corrispondono h1 ed h2 nella forma quadratica
Nel caso unidimensionale del differenziale di una funzione di una sola variabile indipendente $x$ che cosa è $h$?
Per quanto riguarda il punto due, non è che io non voglio chiamarlo determinante dell' hessiano è proprio che nel libro ci viene detto di controllare quella quantità e a seconda di quanto vale possiamo dedurre la classe della forma quadratica.
Inoltre nel caso unidimensionale $ h $ (nel caso di una sola variabile indipendente) dovrebbe essere l'incremento della variabile, correggimi se sbaglio
Inoltre nel caso unidimensionale $ h $ (nel caso di una sola variabile indipendente) dovrebbe essere l'incremento della variabile, correggimi se sbaglio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo