Estremanti relativi ed assoluti di f(x,y)
Salve,
Ho un dubbio sulla determinazione degli estremanti di una funzione di due variabili come:
$f(x,y)=x^2y-2y^2\ :S\to \mathbb{R}$ in cui $S={(x,y)\in \mathbb{R}^2\ :\ x^2+2y^2\le 1}$ ossia definita su un compatto.
Per il teorema di Weierstrass esistono massimo e minimo assoluti di f.
In un altro esercizio ma con $f(x,y)=x^2y-2y^2\ :\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ mediante l'utilizzo del teorema di Fermat e del determinante della matrice hessiana, ho trovato $(0,0)$ come unico punto critico, ma ho verificato che essendo $f(0,0)=0$ ed essendoci punti per ogni intorno dell'origine in cui la funzione assume valori negativi (come i punti $(0,y)$ con $y\ne 0$) e punti nei quali assume valori positivi (come gli $(x,y)\ :\ x^{2}>2y$), l'origine non è estremante ed $f$ quindi non ne possiede. Adesso mi ritrovo con questo dominio e la prof dà per certo che non esistono gli estremanti di questa funzione se restringiamo il dominio ad $S$ che facciano parte dell'interiore di $S$; ma non ne ho capito il motivo
Ho un dubbio sulla determinazione degli estremanti di una funzione di due variabili come:
$f(x,y)=x^2y-2y^2\ :S\to \mathbb{R}$ in cui $S={(x,y)\in \mathbb{R}^2\ :\ x^2+2y^2\le 1}$ ossia definita su un compatto.
Per il teorema di Weierstrass esistono massimo e minimo assoluti di f.
In un altro esercizio ma con $f(x,y)=x^2y-2y^2\ :\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ mediante l'utilizzo del teorema di Fermat e del determinante della matrice hessiana, ho trovato $(0,0)$ come unico punto critico, ma ho verificato che essendo $f(0,0)=0$ ed essendoci punti per ogni intorno dell'origine in cui la funzione assume valori negativi (come i punti $(0,y)$ con $y\ne 0$) e punti nei quali assume valori positivi (come gli $(x,y)\ :\ x^{2}>2y$), l'origine non è estremante ed $f$ quindi non ne possiede. Adesso mi ritrovo con questo dominio e la prof dà per certo che non esistono gli estremanti di questa funzione se restringiamo il dominio ad $S$ che facciano parte dell'interiore di $S$; ma non ne ho capito il motivo
Risposte
non ho capito molto la tua richiesta. partiamo daccapo: la funzione è definita su un compatto, quindi per forza, trattandosi di una funzione continua, weierstrass ti assicura che abbia massimo e minimo.
puoi notare che è una funzione differenziabile, allora cerchi i punti critici e vedi se stanno nel dominio che ti hanno assegnato. se trovi dei punti critici (=gradiente nullo) in S, allora il criterio dell'hessiano ti dice che genere di punti sono: massimo, minimo o di sella. naturalmente in certi casi si può capire anche con la tecnica delle restrizioni, ma è più delicata.
dopodichè devi vedere cosa succede sulla frontiera del dominio: puoi usare i moltiplicatori di lagrange per trovarti i punti critici, oppure più semplicemente ricondurti ad una (anzi due!) funzione di una variabile esprimendoti y in funzione di x, o x in funzione di y. per funzioni di una variabile non dovresti avere grossi problemi nel determinare se eventuali punti critici siano di massimo/minimo: ti basta guardare la derivata seconda.
puoi notare che è una funzione differenziabile, allora cerchi i punti critici e vedi se stanno nel dominio che ti hanno assegnato. se trovi dei punti critici (=gradiente nullo) in S, allora il criterio dell'hessiano ti dice che genere di punti sono: massimo, minimo o di sella. naturalmente in certi casi si può capire anche con la tecnica delle restrizioni, ma è più delicata.
dopodichè devi vedere cosa succede sulla frontiera del dominio: puoi usare i moltiplicatori di lagrange per trovarti i punti critici, oppure più semplicemente ricondurti ad una (anzi due!) funzione di una variabile esprimendoti y in funzione di x, o x in funzione di y. per funzioni di una variabile non dovresti avere grossi problemi nel determinare se eventuali punti critici siano di massimo/minimo: ti basta guardare la derivata seconda.
Allora, come ho detto, se considero come dominio tutto $\mathbb{R}^2$ ho trovato che $(0,0)$ è l'unico punto che annulla le derivate parziali e poi ho visto che il determinante della matrice hessiana è nullo ( e quindi il criterio della matrice hessiana non mi serve). Allora ho applicato la definizione di maggiorante e/o minorante ed ho visto che ci sono punti che fanno parte di un intorno dell'origine tali che il valore che assume la funzione in tali punti è per alcuni minore e per altri maggiore di $f(0,0)$ da cui ho concluso che la funzione non ammette estremanti.
Ora ho quest'altro dominio $S$ compatto e quindi per il teorema di W. deve ammettere necessariamente un massimo e un minimo assoluti.
Vorrei chiedere:
se io ho visto che con $\mathbb{R}^2$ non ci sono estremanti, posso dire che con $f$ ristretta ad $S$ non ci sono estremanti nell'interiore di $S$ ?
Spero di essere stato chiaro nel porre la domanda
Ora ho quest'altro dominio $S$ compatto e quindi per il teorema di W. deve ammettere necessariamente un massimo e un minimo assoluti.
Vorrei chiedere:
se io ho visto che con $\mathbb{R}^2$ non ci sono estremanti, posso dire che con $f$ ristretta ad $S$ non ci sono estremanti nell'interiore di $S$ ?
Spero di essere stato chiaro nel porre la domanda
dimmi se sbaglio, scusami se apro questa piccola parentesi inutilmente, ma non vorrei che il tuo modo di procedere in generale sia questo: prima estendi il dominio ad R^2, poi ti trovi i punti critici in R^2, poi massimi e minimi in R^2 e poi vedi se quesi punti (x,y) per cui hai degli estremi sono interni (NON si dice che "appartengono all'interiore di") ad S.
io ti propongo questa scaletta: trovi i punti critici, vedi se appartengono ad S, e se appartengono ad S li classifichi col criterio dell'hessiano (dei punti fuori da S non ci interessa).
tornando alla tua richiesta, che ora è chiara: se in R^2 non ci sono estremanti, allora non ci sono nemmeno all'interno di S: evidentemente devi cercarli sulla frontiera, ma dovresti farlo in ogni caso per vedere quali sono i punti di masimo e minimo assoluti in un insieme che ti venga assegnato
io ti propongo questa scaletta: trovi i punti critici, vedi se appartengono ad S, e se appartengono ad S li classifichi col criterio dell'hessiano (dei punti fuori da S non ci interessa).
tornando alla tua richiesta, che ora è chiara: se in R^2 non ci sono estremanti, allora non ci sono nemmeno all'interno di S: evidentemente devi cercarli sulla frontiera, ma dovresti farlo in ogni caso per vedere quali sono i punti di masimo e minimo assoluti in un insieme che ti venga assegnato
No, un attimo. Quello che volevo dire è che mi si è presentato un esercizio in cui c'era quella funzione ma con dominio tutto $\mathbb{R}^2$ da cui è emerso che la funzione non ha estremanti (l'unico punto critico era l'origine ma al momento di applicare la definizione si vede che lui non vi rientra).
Poi ho un altro esercizio, dove al posto di $\mathbb{R}^2$ c'è questo $S$ compatto ma con la stessa funzione. Ora, siccome noi gli estremanti fondamentalmente (almeno a quanto dice la prof) li cerchiamo o tra i punti critici (e poi verifichiamo se lo sono veramente), o tra i punti in cui la funzione non è derivabile o tra i punti della frontiera che fanno parte del dominio.
Se io, con S mi metto a ragionare sugli interni critici, sulla base di quello che ho fatto nell'esercizio precedente so che tra i punti interni non ci sono estremanti (come mi hai confermato tu se non ci sono in $\mathbb{R}^2$ non ci saranno nemmeno in un suo sotto insieme), so inoltre che la funzione è derivabile su tutto $\mathbb{R}^2$ e quindi anche in un qualunque suo s.i.; non mi rimane altro che andare a guardare nella frontiera.
Il ragionamento era questo. Che ne dici?
Poi ho un altro esercizio, dove al posto di $\mathbb{R}^2$ c'è questo $S$ compatto ma con la stessa funzione. Ora, siccome noi gli estremanti fondamentalmente (almeno a quanto dice la prof) li cerchiamo o tra i punti critici (e poi verifichiamo se lo sono veramente), o tra i punti in cui la funzione non è derivabile o tra i punti della frontiera che fanno parte del dominio.
Se io, con S mi metto a ragionare sugli interni critici, sulla base di quello che ho fatto nell'esercizio precedente so che tra i punti interni non ci sono estremanti (come mi hai confermato tu se non ci sono in $\mathbb{R}^2$ non ci saranno nemmeno in un suo sotto insieme), so inoltre che la funzione è derivabile su tutto $\mathbb{R}^2$ e quindi anche in un qualunque suo s.i.; non mi rimane altro che andare a guardare nella frontiera.
Il ragionamento era questo. Che ne dici?
Ci sarebbe percaso qualcuno disposto a spiegarmi perfavore un metodo per il calcolo degli estremanti di una funzione come la f(x,y) che ho scritto quando il dominio è quell'S?
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