Estremanti funzione a due variabili con valore assoluto
Eccomi con un'altro esercizio sugli estremanti che sono riuscito a completare solo in parte. La funzione in questione è:
\[ f(x,y)=x \cdot |x^2+y^2-9| \]
Innanzitutto direi che posso premettere che tutti i punti estremanti che troverò avranno carattere relativo essendo la funzione tendente a $\pm \infty$ con $x\rightarrow \pm \infty$. Derivando trovo:
\[ f_x (x,y)=|x^2+y^2-9|+2x^2\cdot sgn(x^2+y^2-9) \quad f_y(x,y)=2xy\cdot sgn(x^2+y^2-9) \]
"Separando" il valore assoluto delle derivate e risolvendo il sistema trovo i punti stazionari: $(\pm \sqrt(3),0)$ e $(0,\pm 3)$.
I primi si trovano internamente alla circonferenza, costruendo la matrice Hessiana trovo che uno è di minimo relativo e l'altro di massimo relativo.
Il mio problema è considerare i punti $(0,\pm 3)$, essi appartengono alla circonferenza $x^2+y^2-9$ ma sono dei punti di non derivabilità essendo la funzione $sgn(x^2+y^2-9)$ non definita quando l'argomento è nullo?
Grazie in anticipo dell'aiuto!
\[ f(x,y)=x \cdot |x^2+y^2-9| \]
Innanzitutto direi che posso premettere che tutti i punti estremanti che troverò avranno carattere relativo essendo la funzione tendente a $\pm \infty$ con $x\rightarrow \pm \infty$. Derivando trovo:
\[ f_x (x,y)=|x^2+y^2-9|+2x^2\cdot sgn(x^2+y^2-9) \quad f_y(x,y)=2xy\cdot sgn(x^2+y^2-9) \]
"Separando" il valore assoluto delle derivate e risolvendo il sistema trovo i punti stazionari: $(\pm \sqrt(3),0)$ e $(0,\pm 3)$.
I primi si trovano internamente alla circonferenza, costruendo la matrice Hessiana trovo che uno è di minimo relativo e l'altro di massimo relativo.
Il mio problema è considerare i punti $(0,\pm 3)$, essi appartengono alla circonferenza $x^2+y^2-9$ ma sono dei punti di non derivabilità essendo la funzione $sgn(x^2+y^2-9)$ non definita quando l'argomento è nullo?
Grazie in anticipo dell'aiuto!
Risposte
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Ciao! Scusa il ritardo ahah
Non ho ancora capito bene che cosa dovrei evincere dalla sovrapposizione della circonferenza al grafico, posto che mi sono reso conto che i punti $(0,\pm3)$ sono effettivamente punti estremanti, mi domando come fare operativamente a determinarne la natura.
Non ho ancora capito bene che cosa dovrei evincere dalla sovrapposizione della circonferenza al grafico, posto che mi sono reso conto che i punti $(0,\pm3)$ sono effettivamente punti estremanti, mi domando come fare operativamente a determinarne la natura.
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@sellacollesella: potrebbe essere solo questione di definizioni, ma io non direi che i punti della circonferenza sono critici, visto che la funzione non è derivabile lì. Ma forse tu tratti questi punti come fossero critici.
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[ot]Non fai un minestrone, è che in queste cose le definizioni dipendono un po' dal contesto. Quando sento "punto critico" penso sempre a un punto in cui si annulla la derivata, quindi se la derivata non esiste che facciamo? Ma a parte questo i tuoi post sono ottimi.[/ot]
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