Estremanti di $f(x,y)=log(1-x+y)+x-sqrt(abs y))$
Cerco gli estremanti della funzione $f(x,y)$ sull'insieme di definizione $\Omega={(x,y):y>x-1}$.
Ho calcolato il gradiente e trovato come punti critici $(1/4,1/4),(-1/4,-1/4)$
Ho calcolato l'Hessiana della funzione e trovato che:
1) $ (partial^2 f)/(partial x^2)=-1/(1-x+y)^2 $
2) $(partial^2 f)/(partial y^2)=-1/(1-x+y)^2+1/(4abs(y)sqrt(abs(y)))$
3)$(partial^2 f)/(partial xy)=1/(1-x+y)^2$
Quindi l'Hessiana valutata nei punti = $ ( ( -1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) $ a autovalori di segno opposto e quindi è indefinita (punto di sella)
Per trovare massimi e minimi devo studiare delle restrizioni della funzione?
Ho calcolato il gradiente e trovato come punti critici $(1/4,1/4),(-1/4,-1/4)$
Ho calcolato l'Hessiana della funzione e trovato che:
1) $ (partial^2 f)/(partial x^2)=-1/(1-x+y)^2 $
2) $(partial^2 f)/(partial y^2)=-1/(1-x+y)^2+1/(4abs(y)sqrt(abs(y)))$
3)$(partial^2 f)/(partial xy)=1/(1-x+y)^2$
Quindi l'Hessiana valutata nei punti = $ ( ( -1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) $ a autovalori di segno opposto e quindi è indefinita (punto di sella)
Per trovare massimi e minimi devo studiare delle restrizioni della funzione?
Risposte
Ciao 
Il punto $(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{4})$ non è un punto stazionario perché [strike]non è nel dominio $\Omega$[/strike] non annulla il gradiente della funzione $f(x,y)$. Inoltre dovresti studiare anche i (possibili) punti critici non stazionari. In questo caso sono
$(x_0, 0)\mbox{ con }x_0<1$
La funzione $f(x,y)$, ristretta a tali punti diventa:
$g(x_0)=f(x_0,0)= x_0 + \log(1-x_0)$
Studiando questa restrizione, ti accorgi che $g(x_0)\le g(0)\quad\forall x_0<1$
Il punto $(0,0)$ si candida come punto massimo (relativo) per $f(x,y)$. Per dimostrarlo, osserva che la funzione $f(x,y)-f(0,0)$, in prossimità di $(0,0)$ si comporta come
$f(x,y)-f (0,0)\approx -x + y + x -\sqrt{|y|}= y-\sqrt{|y|}\le 0 \quad\forall y<1$
Questo dimostra che esiste un intorno di (0,0) in cui $f(x,y)-f(0,0)\le 0\implies f(x,y)\le f(0,0)=0$, pertanto $(0,0)$ è un punto di massimo (relativo).
Il punto $(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{4})$ non è un punto stazionario perché [strike]non è nel dominio $\Omega$[/strike] non annulla il gradiente della funzione $f(x,y)$. Inoltre dovresti studiare anche i (possibili) punti critici non stazionari. In questo caso sono
$(x_0, 0)\mbox{ con }x_0<1$
La funzione $f(x,y)$, ristretta a tali punti diventa:
$g(x_0)=f(x_0,0)= x_0 + \log(1-x_0)$
Studiando questa restrizione, ti accorgi che $g(x_0)\le g(0)\quad\forall x_0<1$
Il punto $(0,0)$ si candida come punto massimo (relativo) per $f(x,y)$. Per dimostrarlo, osserva che la funzione $f(x,y)-f(0,0)$, in prossimità di $(0,0)$ si comporta come
$f(x,y)-f (0,0)\approx -x + y + x -\sqrt{|y|}= y-\sqrt{|y|}\le 0 \quad\forall y<1$
Questo dimostra che esiste un intorno di (0,0) in cui $f(x,y)-f(0,0)\le 0\implies f(x,y)\le f(0,0)=0$, pertanto $(0,0)$ è un punto di massimo (relativo).
Perchè $(-1/4,-1/4) $ non appartiene al dominio?
Errore mio. Appartiene al dominio, ma non annulla il gradiente della funzione f
Per il massimo locale posso fare lo stesso discorso se mi restringo a $f(0,y_0)$ con $y_0>=-1$?
Come hai fatto a capire che quelli potevano essere dei massimi? Non ci sono minimi?
Come hai fatto a capire che quelli potevano essere dei massimi? Non ci sono minimi?
La questione è questa: la funzione presenta punti critici stazionari e punti critici non stazionari. La ricerca dei punti critici stazionari avviene tramite la risoluzione del sistema ottenuto ponendo le derivate parziali del primo ordine uguali a zero.
La classificazione dei punti stazionari avviene tramite l'analisi dell'Hessiano.
La funzione presenta dei punti critici non stazionari, ossia punti che possono essere di massimo o di minimo o di sella in cui la funzione non è derivabile rispetto ad almeno una variabile.
Nell'esempio che hai proposto la funzione non è derivabile rispetto a y in tutti i punti del tipo $(x_0, 0)$, lo si capisce dalla presenza di $\sqrt{|y|}$. Nota inoltre che i punti $(x_0, 0)$ appartengono ad $\Omega$ se e solo se soddisfano la condizione di appartenenza ossia $y>x-1\iff 0>x_0-1\implies x_0<1$.
quindi $(x_0, 0)\mbox{ con }x_0<1$
Il tuo obiettivo diventa quindi studiare la restrizione $g(x_0)=f(x_0, 0)=\ln(1-x_0)+x_0\mbox{ con }x_0<1$, trattandola come se fosse una funzione di una variabile reale. Calcoli la derivata prima di g e imponi che sia uguale a zero da cui:
$g'(x_0)=0\iff -\frac{1}{1-x_0}+1=0\iff x_0=0$
Dallo studio del segno della derivata prima capisci che $x_0=0$ è un punto di massimo per la funzione g, dunque il punto $(x_0=0, 0)$ potrebbe e sottolineo potrebbe essere anche un punto di massimo relativo per f. Lo dimostri con la tecnica che ho scritto prima
La classificazione dei punti stazionari avviene tramite l'analisi dell'Hessiano.
La funzione presenta dei punti critici non stazionari, ossia punti che possono essere di massimo o di minimo o di sella in cui la funzione non è derivabile rispetto ad almeno una variabile.
Nell'esempio che hai proposto la funzione non è derivabile rispetto a y in tutti i punti del tipo $(x_0, 0)$, lo si capisce dalla presenza di $\sqrt{|y|}$. Nota inoltre che i punti $(x_0, 0)$ appartengono ad $\Omega$ se e solo se soddisfano la condizione di appartenenza ossia $y>x-1\iff 0>x_0-1\implies x_0<1$.
quindi $(x_0, 0)\mbox{ con }x_0<1$
Il tuo obiettivo diventa quindi studiare la restrizione $g(x_0)=f(x_0, 0)=\ln(1-x_0)+x_0\mbox{ con }x_0<1$, trattandola come se fosse una funzione di una variabile reale. Calcoli la derivata prima di g e imponi che sia uguale a zero da cui:
$g'(x_0)=0\iff -\frac{1}{1-x_0}+1=0\iff x_0=0$
Dallo studio del segno della derivata prima capisci che $x_0=0$ è un punto di massimo per la funzione g, dunque il punto $(x_0=0, 0)$ potrebbe e sottolineo potrebbe essere anche un punto di massimo relativo per f. Lo dimostri con la tecnica che ho scritto prima
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