Estrazione radice complessa
Ciao, sto seguendo una videolezione riguardo lo studio dell'equazione \( ax^2+bx+c=0\) nel campo complesso.
A un certo punto, per mostrare come ricavare la formula risolutiva, il professore chiede di dimostrare sotto quali condizioni è verificata l'uguaglianza:
\[
\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\]
con $a, b, c$ numeri complessi e $a\ne 0$, precisando che non ha una spiegazione banale.
Pensavo di isolare il termine sotto radice $\frac{1}{4a^2}$ e rappresentarlo come
\[
\left( \frac{1}{2a} \right)^2=\frac{\bar{a}^2}{4\|a\|^2}
\]
oppure dovrei usare la rappresentazione trigonometrica? Cercando su Internet estrazione di radice complessa si trovano solo esercizi per calcolare le radici ma nessuna spiegazione teorica.
A un certo punto, per mostrare come ricavare la formula risolutiva, il professore chiede di dimostrare sotto quali condizioni è verificata l'uguaglianza:
\[
\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\]
con $a, b, c$ numeri complessi e $a\ne 0$, precisando che non ha una spiegazione banale.
Pensavo di isolare il termine sotto radice $\frac{1}{4a^2}$ e rappresentarlo come
\[
\left( \frac{1}{2a} \right)^2=\frac{\bar{a}^2}{4\|a\|^2}
\]
oppure dovrei usare la rappresentazione trigonometrica? Cercando su Internet estrazione di radice complessa si trovano solo esercizi per calcolare le radici ma nessuna spiegazione teorica.
Risposte
Ciao
Non so la risposta, provo solo a ragionare con te.
Proviamo a vedere cosa succede con qualche caso particolare? Giusto per farci una idea se la formula funziona sempre?
Proviamo a sostituire
b=2+i
a=1-i
c=-1+2i
Funziona?
Poi proviamo ancora
a=i
b=3
c=-i
Funziona sempre?
Non so la risposta, provo solo a ragionare con te.
Proviamo a vedere cosa succede con qualche caso particolare? Giusto per farci una idea se la formula funziona sempre?
Proviamo a sostituire
b=2+i
a=1-i
c=-1+2i
Funziona?
Poi proviamo ancora
a=i
b=3
c=-i
Funziona sempre?
Il problema è che il simbolo $sqrt(*)$ non è ben definito in campo complesso, quindi non ha molto senso scrivere relazioni come $sqrt(a^2) = a$ o $sqrt(a/b) = (sqrt(a))/(sqrt(b))$.
Ciao tetravalenza,
Benvenuto sul forum!
Mah, non mi pare che la dimostrazione (completamento del quadrato) della formula di risoluzione dell'equazione di secondo grado $ax^2 + bx + c = 0 $ con $a \ne 0 $ sia messa in crisi dal fatto che i coefficienti siano complessi: pertanto si risolve con la "solita" formula, a patto di intendere $\sqrt(*) $ in $\CC $ come ha scritto gugo82 nel suo post precedente.
Benvenuto sul forum!
Mah, non mi pare che la dimostrazione (completamento del quadrato) della formula di risoluzione dell'equazione di secondo grado $ax^2 + bx + c = 0 $ con $a \ne 0 $ sia messa in crisi dal fatto che i coefficienti siano complessi: pertanto si risolve con la "solita" formula, a patto di intendere $\sqrt(*) $ in $\CC $ come ha scritto gugo82 nel suo post precedente.
Ciao, grazie a tutti per il chiarimento.
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