Estratta monotòna (?) che tende al limsup
Sia $(a_n)_{n in \NN}$ una successione di numeri reali. Allora è risaputo che esiste una sottosuccessione dotata di limite e tale che detto limite sia il $\lim"sup"_{n to +infty} a_n$.
(Eventualmente, se dovesse servire a qualcuno, più tardi scrivo la dimostrazione, è solo qualche riga)
Domanda: tale estratta può essere scelta monotòna?
Avete qualche idea, please? Controesempi non me ne sono venuti, ma non so se è vero e, in tal caso, non saprei come dimostrarlo.
Grazie in anticipo.
(Eventualmente, se dovesse servire a qualcuno, più tardi scrivo la dimostrazione, è solo qualche riga)
Domanda: tale estratta può essere scelta monotòna?
Avete qualche idea, please? Controesempi non me ne sono venuti, ma non so se è vero e, in tal caso, non saprei come dimostrarlo.
Grazie in anticipo.
Risposte
"Paolo90":
Sia $(a_n)_{n in \NN}$ una successione di numeri reali. Allora è risaputo che esiste una sottosuccessione dotata di limite e tale che detto limite sia il $\lim"sup"_{n to +infty} a_n$.
(Eventualmente, se dovesse servire a qualcuno, più tardi scrivo la dimostrazione, è solo qualche riga)
Domanda: tale estratta può essere scelta monotòna?
Avete qualche idea, please? Controesempi non me ne sono venuti, ma non so se è vero e, in tal caso, non saprei come dimostrarlo.
Grazie in anticipo.
A me sembra di sì.
Sia $l$ il limite superiore di $a_n$.
Fissa un indice $n_1$, l'indice del primo elemento dell'estratta. Ponendo $epsilon_1 = |l - a_(n_1) |$, hai che $a_n > l - epsilon_1 = a_(n_1)$ per infiniti indici. Fissa un indice $n_2 > n_1$, l'indice del secondo elemento dell'estratta.
A me sembra che, se costruita così, l'estratta ha la proprietà che cerchi...
Ho scritto un po' male nel post precedente. Provo a riscrivere le cose con un po' più di cura:
$l = lim "sup" a_n$
Allora, secondo la caratterizzazione "con gli $epsilon$" del limite superiore, si ha che: $AA epsilon > 0$ , $ a_n > l - epsilon$ per infiniti indici.
Costruiamo l'estratta $a_(n_k)$. Prendiamo $n_1 = 1$, l'indice corrispondente al primo elemento dell'estratta.
Dato un elemento dell'estratta $a_(n_k)$ costruiamo il successivo $a_(n_(k+1))$ nella seguente maniera:
Fissato $epsilon_k = | l - a_(n_k)|/2$ , $a_n > l - epsilon_k$ per infiniti indici; sia $n_(k+1)$ uno di questi.
E così via...
Ti torna?
$l = lim "sup" a_n$
Allora, secondo la caratterizzazione "con gli $epsilon$" del limite superiore, si ha che: $AA epsilon > 0$ , $ a_n > l - epsilon$ per infiniti indici.
Costruiamo l'estratta $a_(n_k)$. Prendiamo $n_1 = 1$, l'indice corrispondente al primo elemento dell'estratta.
Dato un elemento dell'estratta $a_(n_k)$ costruiamo il successivo $a_(n_(k+1))$ nella seguente maniera:
Fissato $epsilon_k = | l - a_(n_k)|/2$ , $a_n > l - epsilon_k$ per infiniti indici; sia $n_(k+1)$ uno di questi.
E così via...
Ti torna?
Ti ringrazio della risposta.
Sono un po' stanco, ti chiedo scusa, ma non credo di aver afferrato: l'estratta che costruisci è monotona crescente?
Sono un po' stanco, ti chiedo scusa, ma non credo di aver afferrato: l'estratta che costruisci è monotona crescente?
Ciao paolo, guarda questo (il lemma):
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... eierstrass
ed appunto per la monotonia ha limite. Se bounded finito.
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... eierstrass
ed appunto per la monotonia ha limite. Se bounded finito.
"Paolo90":
Ti ringrazio della risposta.
Sono un po' stanco, ti chiedo scusa, ma non credo di aver afferrato: l'estratta che costruisci è monotona crescente?
Sì. E' addirittura strettamente crescente prendendo il valore assoluto di $l - a_(n_k)$ "mezzi".
Epperò devi stare attento. Io non l'ho specificato ma gli indici $n_k$ che scegli - selezionando gli elementi per costruire la tua nuova successione (l'estratta) - devono necessariamente corrispondere a numeri reali $<= l$. Non è un problema, dal momento che, per definizione di limite superiore, la successione $a_n$ sarà definitivamente al di sotto di $l$.
@ DajeForte: ciao!
Ti ringrazio per il link: in realtà la mia domanda nasce proprio da quel lemma. Mi domandavo se i due teoremi (esistenza di un'estratta che va al lim sup e di un'estratta monotona) non fossero in realtà lo stesso.
Il problema è che sono (abbastanza) sicuro che l'estratta convergente al lim sup non può essere (debolmente) crescente: pensate a $1/n$. Va a 0, che è anche il suo lim sup, ma ogni estratta è strettamente decrescente. O no?
@ Seneca: grazie di nuovo per la tua risposta. Ma mi sa che c'è qualcosa che non va (vedi controesempio).
Ti ringrazio per il link: in realtà la mia domanda nasce proprio da quel lemma. Mi domandavo se i due teoremi (esistenza di un'estratta che va al lim sup e di un'estratta monotona) non fossero in realtà lo stesso.
Il problema è che sono (abbastanza) sicuro che l'estratta convergente al lim sup non può essere (debolmente) crescente: pensate a $1/n$. Va a 0, che è anche il suo lim sup, ma ogni estratta è strettamente decrescente. O no?
@ Seneca: grazie di nuovo per la tua risposta. Ma mi sa che c'è qualcosa che non va (vedi controesempio).
Si, direi di sì. Anche se non necessariamente crescente. Infatti se hai una successione monotona decrescente il suo limite superiore è il limite stesso ma nessuna sua sottosuccessione è monotona crescente.
Sia \(\displaystyle \ell = \lim\sup a_n \) e sia \(\displaystyle a'_n \) una sottosuccessione convergente a \(\displaystyle \ell \).
\(\displaystyle \mathbb{R}\setminus \{\ell\} \) ha due componenti connesse. La successione \(\displaystyle a'_n \) contiene infiniti punti in almeno una delle due componenti e la successione \(\displaystyle \{b_n\} = \{a'_n\}\cap C \) è una sottosuccessione che ha limite \(\displaystyle \ell \).
Ora consideri una successione monotona decrescente \(\displaystyle \{\varepsilon_n\} \) che ha limite \(\displaystyle 0 \). Allora esisterà un minimo \(\displaystyle N_0 \) tale che \(\displaystyle \left(B(\ell, \varepsilon_{N_0})\setminus B(\ell, \varepsilon_{N_0+1}) \right) \cap \{b_n\} \) è non vuoto. Chiamiamo quindi \(\displaystyle n_1 \) l'indice del primo elemento della successione che appartiene a quell'intersezione e \(\displaystyle c_1 \) quell'elemento.
Troviamo l'elemento \(\displaystyle c_2 \) in maniera simile trovando il minimo \(\displaystyle N_1 > N_0 \) tale che \(\displaystyle \left(B(\ell, \varepsilon_{N_1})\setminus B(\ell, \varepsilon_{N_1+1}) \right) \cap \{b_n\}_{n>n_1} \) è non vuoto. Quindi troviamo \(\displaystyle n_2 \) e \(\displaystyle c_2 \). In questo modo troviamo una sottosuccessione monotona (anche se non necessariamente crescente).
P.S: non ho tenuto conto del caso in cui la successione non contenga infiniti elementi distinti, ma quel caso è piuttosto banale come sottosuccessione.
Sia \(\displaystyle \ell = \lim\sup a_n \) e sia \(\displaystyle a'_n \) una sottosuccessione convergente a \(\displaystyle \ell \).
\(\displaystyle \mathbb{R}\setminus \{\ell\} \) ha due componenti connesse. La successione \(\displaystyle a'_n \) contiene infiniti punti in almeno una delle due componenti e la successione \(\displaystyle \{b_n\} = \{a'_n\}\cap C \) è una sottosuccessione che ha limite \(\displaystyle \ell \).
Ora consideri una successione monotona decrescente \(\displaystyle \{\varepsilon_n\} \) che ha limite \(\displaystyle 0 \). Allora esisterà un minimo \(\displaystyle N_0 \) tale che \(\displaystyle \left(B(\ell, \varepsilon_{N_0})\setminus B(\ell, \varepsilon_{N_0+1}) \right) \cap \{b_n\} \) è non vuoto. Chiamiamo quindi \(\displaystyle n_1 \) l'indice del primo elemento della successione che appartiene a quell'intersezione e \(\displaystyle c_1 \) quell'elemento.
Troviamo l'elemento \(\displaystyle c_2 \) in maniera simile trovando il minimo \(\displaystyle N_1 > N_0 \) tale che \(\displaystyle \left(B(\ell, \varepsilon_{N_1})\setminus B(\ell, \varepsilon_{N_1+1}) \right) \cap \{b_n\}_{n>n_1} \) è non vuoto. Quindi troviamo \(\displaystyle n_2 \) e \(\displaystyle c_2 \). In questo modo troviamo una sottosuccessione monotona (anche se non necessariamente crescente).
P.S: non ho tenuto conto del caso in cui la successione non contenga infiniti elementi distinti, ma quel caso è piuttosto banale come sottosuccessione.
Ora sono stanchetto anche io. Per stasera ci rinuncio. 
Ciao Paolo.
Ciao Paolo.
Perfetto non avevo capito la tua richiesta.
E' questa: data una successione, esiste una sottosuccessione monotona convergente al limsup?
Se si mi pare ovvia. Infatti come scrivevi nel primo post esiste una sottosuccessione che converge al limsup; a questo punto esiste una sotto-sotto-successione monotona che ovviamente converge al limite della sottosuccessione.
Sbaglio?
E' questa: data una successione, esiste una sottosuccessione monotona convergente al limsup?
Se si mi pare ovvia. Infatti come scrivevi nel primo post esiste una sottosuccessione che converge al limsup; a questo punto esiste una sotto-sotto-successione monotona che ovviamente converge al limite della sottosuccessione.
Sbaglio?
Scrivo l'ultima considerazione. Una volta assodato che:
Basta, da questa estratta convergente, costruire (in maniera banale) una sottosuccessione monotona. Come? Dalla def. di limite: $AA epsilon > 0 , EE bar n$ tale che $AA n > bar n$, $a_n in (l - epsilon , l + epsilon)$.
A questo punto distingui 3 casi: 1) se $a_n >= l$ per infiniti indici , 2) se $a_n <= l$ per infiniti indici , 3) se si verificano entrambi i casi 1,2).
A seconda dei casi la tua estratta ulteriore potrà essere monotona crescente, decrescente oppure monotona (con possibilità di scelta tra decrescente o crescente).
Mi sembra che siano esauriti tutti i casi in questo modo... Cosa ne pensi?
Se vuoi che la successione che estrai da $a_n$, la quale converge al limite superiore di $a_n$, sia pure monotona crescente, allora non è detto che tu possa farlo, come mostra il tuo contro esempio.
"Paolo90":
Sia $(a_n)_{n in \NN}$ una successione di numeri reali. Allora è risaputo che esiste una sottosuccessione dotata di limite e tale che detto limite sia il $\lim"sup"_{n to +infty} a_n$.
Basta, da questa estratta convergente, costruire (in maniera banale) una sottosuccessione monotona. Come? Dalla def. di limite: $AA epsilon > 0 , EE bar n$ tale che $AA n > bar n$, $a_n in (l - epsilon , l + epsilon)$.
A questo punto distingui 3 casi: 1) se $a_n >= l$ per infiniti indici , 2) se $a_n <= l$ per infiniti indici , 3) se si verificano entrambi i casi 1,2).
A seconda dei casi la tua estratta ulteriore potrà essere monotona crescente, decrescente oppure monotona (con possibilità di scelta tra decrescente o crescente).
Mi sembra che siano esauriti tutti i casi in questo modo... Cosa ne pensi?
Se vuoi che la successione che estrai da $a_n$, la quale converge al limite superiore di $a_n$, sia pure monotona crescente, allora non è detto che tu possa farlo, come mostra il tuo contro esempio.
"DajeForte":
Perfetto non avevo capito la tua richiesta.
E' questa: data una successione, esiste una sottosuccessione monotona convergente al limsup?
Se si mi pare ovvia. Infatti come scrivevi nel primo post esiste una sottosuccessione che converge al limsup; a questo punto esiste una sotto-sotto-successione monotona che ovviamente converge al limite della sottosuccessione.
Sbaglio?
Mi hai anticipato. Concordo.
"Seneca":
Mi hai anticipato. Concordo.
Bene abbiamo avuto la stessa idea e mi pare sia la più logica
edit: vict ora che leggo quello che scrivi, mi pare poi tu abbia fatto la stessa cosa.
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