Estensioni continue di funzioni
Salve a tutti! Sto svolgendo un esercizio di analisi ma vorrei un vostro parere.
Sia $X$ uno spazio metrico, sia $D$ un sottoinsieme denso di $X$, sia $Y$ uno spazio metrico competo e sia $f:DrarrY$ una funzione uniformemente continua.
Si dimostri che esiste un'unica estensione continua continua $g$ di $f$ ad $X$.
Posto $X=[0,1]$ e $D=(0,1]$, $Y=RR$ si dia un esempio di funzione continua $f$ che non ammetta un'estensione continua.
Vi spiego più o meno come ho ragionato:
Preso $x$ in $X$
Ho definito $g(x)=\lim_{n \to \infty}f(x_n)$ dove $x_n$ è una successione in $D$ che tende ad $x$.
(il limite è per n che tende a + infinito. Scusate ma non riesco a scriverlo)
Ho dimostrato che tale limite esiste sfruttando il fatto che $Y$ è uno spazio metrico completo e$f$ è uniformemente continua: $f(x_n)$ mi viene una successione di Cauchy in $Y$
Ora la mia domanda è: come faccio a dimostrare che la mia estensione è continua?
Per quanto riguarda la seconda parte dell'esercizio ho pensato alla funzione $(1/x)$ che è definita in $(0,1]$, non è uniformemente continua.
Siccome la successione $(1/n)$ $rarr0$ per $n$ $rarr+oo$
avrei che l'estensione che ho definito sarebbe $g(0)=+oo$ e quindi avrei trovato una funzione continua in $D$ che non ammette un'estensione continua in $X$.
Secondo voi è giusto?
Grazie a tutti
Sia $X$ uno spazio metrico, sia $D$ un sottoinsieme denso di $X$, sia $Y$ uno spazio metrico competo e sia $f:DrarrY$ una funzione uniformemente continua.
Si dimostri che esiste un'unica estensione continua continua $g$ di $f$ ad $X$.
Posto $X=[0,1]$ e $D=(0,1]$, $Y=RR$ si dia un esempio di funzione continua $f$ che non ammetta un'estensione continua.
Vi spiego più o meno come ho ragionato:
Preso $x$ in $X$
Ho definito $g(x)=\lim_{n \to \infty}f(x_n)$ dove $x_n$ è una successione in $D$ che tende ad $x$.
(il limite è per n che tende a + infinito. Scusate ma non riesco a scriverlo)
Ho dimostrato che tale limite esiste sfruttando il fatto che $Y$ è uno spazio metrico completo e$f$ è uniformemente continua: $f(x_n)$ mi viene una successione di Cauchy in $Y$
Ora la mia domanda è: come faccio a dimostrare che la mia estensione è continua?
Per quanto riguarda la seconda parte dell'esercizio ho pensato alla funzione $(1/x)$ che è definita in $(0,1]$, non è uniformemente continua.
Siccome la successione $(1/n)$ $rarr0$ per $n$ $rarr+oo$
avrei che l'estensione che ho definito sarebbe $g(0)=+oo$ e quindi avrei trovato una funzione continua in $D$ che non ammette un'estensione continua in $X$.
Secondo voi è giusto?
Grazie a tutti
Risposte
Per la prima domanda:
basta che fai vedere che, fissato $x\in X$, $\lim_n f(x_n)$ oltre a esistere è anche indipendente dalla scelta della successione $(x_n) \subset D$ convergente a $x$.
La continuità di $g$ segue poi dalla caratterizzazione sequenziale della continuità.
L'esempio va bene (anche se io non scriverei $g(0) = +\infty$, ma eventualmente $\lim_n f(x_n) = +\infty$ per ogni successione $(x_n) \subset (0,1]$ convergente a $0$).
basta che fai vedere che, fissato $x\in X$, $\lim_n f(x_n)$ oltre a esistere è anche indipendente dalla scelta della successione $(x_n) \subset D$ convergente a $x$.
La continuità di $g$ segue poi dalla caratterizzazione sequenziale della continuità.
L'esempio va bene (anche se io non scriverei $g(0) = +\infty$, ma eventualmente $\lim_n f(x_n) = +\infty$ per ogni successione $(x_n) \subset (0,1]$ convergente a $0$).
Si, hai ragione. Bisogna anche far vedere che $g(x)=\limf(x_{n})$ è ben definita.
Ok grazie davvero!
Ok grazie davvero!
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