Estensione per continuità in $\RR^2$

[Paolo902]

Problema (concorso di ammissione SNS). Sia $f \in C^1(\RR^2)$ tale che $f(x,0)=0$ per ogni $x \in \RR$. Si dimostri che
\[
g(x,y):=\frac{f(x,y)}{y}
\]
ammette estensione continua a tutto $RR^2$.

Questa è la prima parte di un problema di ammissione. In spoiler la mia soluzione. Qualcuno ha voglia di dare un'occhiata, per piacere? Grazie.

Anzitutto, osserviamo che $g(x,y)$ è ben definita e continua su $RR^{2} \setminus {y=0}$ in quanto rapporto di funzioni continue. Fissato $p \in \RR$, consideriamo il punto $(p,0)$ e scriviamo il polinomio di Taylor del primo ordine relativo a $f$ in $(p,0)$:
\[
P_f(x,y) = f(p,0) + \langle \nabla f(p,0), (x-p, y) \rangle = \langle \nabla f(p,0), (x-p, y) \rangle.
\]

Rapidi conti mostrano che
\[
\frac{\partial f}{\partial x}(p,0) = \lim_{t \to 0}\frac{f(p+t,0)-f(p,0)}{t}=0
\]
in quanto il numeratore è identicamente nullo; analogamente,
\[\tag{1}
\frac{\partial f}{\partial y}(p,0) = \lim_{t \to 0}\frac{f(p,t)-f(p,0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{f(p,t)}{t}
\]
che esiste finito poiché $f$ è di classe $C^1$.
Insomma, approssimando $f$ con il suo polinomio di Taylor abbiamo che per $y \to 0$
\[
g(x,y) = \frac{f(x,y)}{y} \simeq \frac{P_f(x,0)}{y} = \frac{f_y(x,0)y}{y} = f_y(x,0).
\]

Insomma, per farla breve
\[
\tilde{g}(x,y) =
\begin{cases}
g(x,y) & \text{ se } y \ne 0 \\
f_y(x,0) & \text{ altrimenti }
\end{cases}\]
è l'estensione continua cercata (la continuità segue dalla (1)).

Che dite? Può andare fin qui?
Grazie.

[Sk_Anonymous]

[OT]
No, non sono così bravo

Volevo solo dire questo: visto che hai aperto un sacco di topic* con problemi di ammissione alla SNS e alla SISSA che suppongo parecchio tosti, perché non creare una discussione (come questa) da mantenere in evidenza con i link ad ognuno di essi?

Certe perle è meglio non lasciarle andare a fondo...

*1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 + quelli che mi sono sfuggiti.
[/OT]

[Seneca1]

Direi che funziona.

[j18eos]

In attesa del resto...

Notando che:\[\forall y\in\mathbb{R},\,g(x;y)=\frac{f(x;y)-f(x;0)}{y}\] per le ipotesi si ottiene che \(g(x;0)\stackrel{def.}{=}f_y(x;0)\) avendo verificato a dovere che la funzione così definita è continua.

[Paolo902]

Grazie per la conferma.

Il resto è la naturale generalizzazione con regolarità maggiore: se $f \in C^{n}(RR^2)$ (con $n \ge 2$) allora $g$ ammette un'estensione $C^{n-1}(RR^2)$.

Qualcuno vede un modo "bello" per scriverlo? Penso che l'idea sia sempre quella (un nome: Taylor) ma non saprei bene come scriverla... Mi devo mettere a controllare l'esistenza e la continuità di tutte le derivate ?

[Leonardo891]

"Paolo90":Mi devo mettere a controllare l'esistenza e la continuità di tutte le derivate ?

Idea che mi passa per la testa in questo momento: induzione?