Estensione per continuità in due variabili.

[Ariz93]

Salve mi ritrovo a dover estendere per continuità questa funzione:

\(\displaystyle \frac{sin(2(x-y))}{x-y} \)

noto che in x=y si ha una discontinuità e vedo se posso estendere per continuità mettendo in x=y

\(\displaystyle \lim_{x \to y}f(x) \)

il libro(marcellini-sbordone) dice di sostituire x-y=t ed il limite è noto.Ora il libro omette questo passaggio ch per me è importante ma che non riesco a risolvere.
Mi resta da trovare delta tale che:
\(\displaystyle \delta>|t| \Rightarrow \delta> \sqrt{x^2+y^2} \)

Come posso fare? (vi dico che è n'ora che ci sbatto la testa) . E cosa pù importante è giusto il ragionamento?

[rino6999]

posto $t=x-y$ ,si ha $lim_{t \to 0}frac{sen2t}{t}=2$
quindi,la funzione si estende per continuità ponendola uguale a 2 in ogni punto del piano in cui x=y

[Ariz93]

"raf85":posto $t=x-y$ ,si ha $lim_{t \to 0}frac{sen2t}{t}=2$
quindi,la funzione si estende per continuità ponendola uguale a 2 in ogni punto del piano in cui x=y

Ciao raf85 il mio problema è un'altro...siamo sicuri che se vale per t vala anche per x e y?

[rino6999]

sicurissimi

[Ariz93]

"raf85":sicurissimi

Ehm scusami ma non è molto rigoroso per come lo dici cioè credo che bisogna mostrare che vengono soddisfatte certe condizioni, non credo valga sempre la sostituzione delle variabili con una sola, suppongo possa accadere che :

Esiste \(\displaystyle \delta \) tale che \(\displaystyle \delta >|t| \) ma non lo è per \(\displaystyle \sqrt{x^2+y^2} \)

[rino6999]

quindi il marcellini-sbordone non è rigoroso
ne prendo atto

[Ariz93]

"raf85":quindi il marcellini-sbordone non è rigoroso
ne prendo atto

... io non lo so ecco volevo sapere se fosse giusto/ sbalgiato,superfluo /necessario il pensiero che ho avuto perché magari lo sbordone avrebbe potuto omettere dei passaggi (anche banali). Però va bene se non sei disposto a spiegarti fa nulla aspetto he qualcun'altro risponda e intanto ci penso su. Grazie lo stesso.