Estendere una funzione continua su un sottisieme denso
Sto cercando di dimostrare il seguente lemma:
Siano $X$,$Y$ spazi metrici, $Y$ completo.
Sia $D\subset X$ denso, sia $f: D\toY$ continua.
Allora $\exists!$ $F:X->Y$ continua t.c. $F=f$ su $D$.
Innanzitutto me lo sono costruito ad hoc, quindi vi chiedo se è vero, se mancano delle ipotesi e se tutte quelle che ci sono sono necessarie.
Poi nel dimostarlo mi servirebbe dire che l'immagine continua di una successione di Cauchy è ancora di Cauchy. Questo è vero?
Siano $X$,$Y$ spazi metrici, $Y$ completo.
Sia $D\subset X$ denso, sia $f: D\toY$ continua.
Allora $\exists!$ $F:X->Y$ continua t.c. $F=f$ su $D$.
Innanzitutto me lo sono costruito ad hoc, quindi vi chiedo se è vero, se mancano delle ipotesi e se tutte quelle che ci sono sono necessarie.
Poi nel dimostarlo mi servirebbe dire che l'immagine continua di una successione di Cauchy è ancora di Cauchy. Questo è vero?
Risposte
Il lemma è falso. Controesempio: non si può estendere la funzione continua $f(x)=1/x$ definita su $(0, 1)$ ad una funzione continua definita su $[0, 1]$. Devi richiedere la continuità uniforme.
Accidenti hai ragione!
Io comunque ho a che fare con delle isometrie, e un'isometria è uniformemente continua (praticamente per definizione), giusto?
Io comunque ho a che fare con delle isometrie, e un'isometria è uniformemente continua (praticamente per definizione), giusto?
Se hai a che fare con isometrie allora ti consiglio la lettura di Real and Complex Analysis di Rudin, Lemma 4.16.
P.S.: Si, comunque è evidente che una isometria è uniformemente continua. Basta prendere $\delta=\epsilon$ nella definizione.
P.S.: Si, comunque è evidente che una isometria è uniformemente continua. Basta prendere $\delta=\epsilon$ nella definizione.
Ho la versione in italiano del Rudin e mi sa che la numerazione non coincide... Riesci a darmi la referenza lì?
E' nel capitolo sugli spazi di Hilbert, il primo e unico lemma del capitolo.
Non riesco proprio a trovarlo: non vedo lemmi nel capitolo degli spazi di Hilbert.
Comunque penso di essere riuscito a dimostrare il lemma aggiungendo l'ipotesi che $f$ sia assolutamente continua.
Grazie mille!
Comunque penso di essere riuscito a dimostrare il lemma aggiungendo l'ipotesi che $f$ sia assolutamente continua.
Grazie mille!
"Assolutamente continua"? Volevi dire "uniformemente"?
P.S. Comunque ecco qua il lemma:
P.S. Comunque ecco qua il lemma:
Sì scusa, volevo dire uniformemente continua.
Nel mio caso però è $Y$ ad essere completo, mentre $X$ non lo è.
Nel mio caso però è $Y$ ad essere completo, mentre $X$ non lo è.
Vabbé, se $X$ non è completo puoi sempre costruire l'estensione continua al completamento di $X$. Poi ne prendi la restizione ad $X$. Perdi la surgettività ma sicuramente hai una estensione continua.
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