Esprimere numero decimale con Taylor

[frenky46]

Scrievere con le prime due cifre decimali corrette un'approssimazione del numero:

$sqrte$

Il ragionamento che ho fatto è:

- ho riscritto $sqrte$ come $sqrt (2e-x)$ dove $x=e$

- ho posto $x_0=0$

- ho sostituito il tutto nella forma $sqrte=f(x_0)+f'(x_0)*x+(f''(x_0)*x^2)/(2!)+(f'''(x_0)*x^3)/(3!)$

Fermandomi a questo punto ottengo $sqrte=1,6576$ invece dalla calcolatrice ottengo $sqrte=1,6487$
Devo solo continuare ad addizionare i termini??
corretto??

[legendre]

hai che $e^(1/2)=1+1/2+((1/2)^2)/(2!)+((1/2)^3)/(3!)=1,645833$ che effettivamente fornisce le due cifre decimali esatte

[frenky46]

ha ok quindi mi basta fare lo sviluppo di Taylor nel punto $x_0=0$ di $e^x$ dove $x=1/2$ giusto ?

In un esercizio simile il mio professore ha detto che $sqrt(65)$ si poteva risolvere in due modi :

- $sqrt(65)=sqrt(64+x)$ dove $x=1$ e $x_0=0$

- $sqrt(65)=sqrtx$ dove $x=65$ e $x_0=64$

Qualcuno riesce a spiegarmi il perchè del secondo punto ? precisamente perchè si pone $x_0=64$ ?

Grazie mille

[faximusy]

Il punto è capire, in base alla serie scelta, fino a che punto spingersi prima di arrestare lo sviluppo per ottenere la precisione richiesta.

Prendiamo $e^(1/2)$, cioè $e^x$ di punto iniziale $0$ e $x=1/2$

Otteniamo che esso è uguale a: (mi soffermo sugli ultimi termini)

$...+(1/2)^n/(n!) + ((1/2)^(n+1)e^(\phi))/((n+1)!)$

con $0<\phi<1/2$ ed $e^(\phi)<= e^(1/2)$

Ora considero che $e^(1/2)<2$, e quindi che l'errore è maggiorato da: $((1/2)^(n+1)2)/((n+1)!)$


Essendo l'errore richiesti minore di $0.01$, devo semplicemente risolvere $((1/2)^(n+1)2)/((n+1)!)<1/100$

ossia: $(n+1)! >= 100 -> n=3$

Quindi il polinomio deve essere di terzo grado, e avrò la certezza del risultato.

Il risultato è $79/48$

[frenky46]

"faximusy":Il punto è capire, in base alla serie scelta, fino a che punto spingersi prima di arrestare lo sviluppo per ottenere la precisione richiesta.

Prendiamo $e^(1/2)$, cioè $e^x$ di punto iniziale $0$ e $x=1/2$

Otteniamo che esso è uguale a: (mi soffermo sugli ultimi termini)

$...+(1/2)^n/(n!) + ((1/2)^(n+1)e^(\phi))/((n+1)!)$

con $0<\phi<1/2$ ed $e^(\phi)<= e^(1/2)$

Ora considero che $e^(1/2)<2$, e quindi che l'errore è maggiorato da: $((1/2)^(n+1)2)/((n+1)!)$


Essendo l'errore richiesti minore di $0.01$, devo semplicemente risolvere $((1/2)^(n+1)2)/((n+1)!)<1/100$

ossia: $(n+1)! >= 100 -> n=3$

Quindi il polinomio deve essere di terzo grado, e avrò la certezza del risultato.

Il risultato è $79/48$

No non ti seguo molto.

Sapresti spiegarmi perchè risolvere l'esercizio in quei due modi è equivalente ?

[faximusy]

Ho solo notato che si arriva in entrambi i casi alla soluzione. Però sinceramente non saprei :S