Espressioni q-arie numeri reali
Ciao ragazzi,
sto cercando di dimostrare che differenti espressioni q-arie, conducono a differenti numeri reali.
Con espressione q-aria di un numero $x \in \mathbb{R}$ intendo un successione di somme parziali $r_n=\alpha_{p} q^{p}+\alpha_{p-1} q^{p-1}+...+\alpha_{p-n} q^{p-n}$ ($q>1$ base della rappresentazione q-aria, $p \in \mathbb{N}$ ordine di $x$ e i digits $\alpha_i \in \mathbb{N}$ che verificano $0<\alpha_i
\(\displaystyle r_n \leq x
Sono arrivato alla dimostrazione (solo nel caso $q$ intero in realtà) che innanzitutto una espressione q-aria di un numero reale $x$ non può contenere, da un certo indice in poi, solo digits uguali al massimo possibile, ovvero \(\displaystyle \alpha_i = q-1 \). In tal caso infatti sfruttando la disuguaglianza scritta sopra si arriverebbe ad un assurdo.
Poi, sono riuscito a dimostrare (anche qui solo nel caso $q$ intero) che se due successioni di somme parziali $\{r_n\}$ e $\{r'_n\}$ sono diverse da un certo indice $N$ in poi, allora è sufficiente verificare se $\alpha_{p-N}>\alpha '_{p-N}$ oppure $\alpha_{p-N}<\alpha '_{p-N}$, per poter concludere rispettivamente che $r_n>r'_n$ oppure $r_n
Con queste cose posso solo dire che, se ad esempio $r_n>r'_n$ per ogni indice superiore a $N$, allora:
\(\displaystyle r_n'< r_n \leq x
il che comunque consente solo di scrivere:
\(\displaystyle x'=\lim_{n \to \infty}r_n'\leq\lim_{n \to \infty}r_n=x \)
e non invece ciò che vorrei ottenere:
\(\displaystyle x'=\lim_{n \to \infty}r_n' < \lim_{n \to \infty}r_n=x \).
Qualche spunto?
Grazie in anticipo.
sto cercando di dimostrare che differenti espressioni q-arie, conducono a differenti numeri reali.
Con espressione q-aria di un numero $x \in \mathbb{R}$ intendo un successione di somme parziali $r_n=\alpha_{p} q^{p}+\alpha_{p-1} q^{p-1}+...+\alpha_{p-n} q^{p-n}$ ($q>1$ base della rappresentazione q-aria, $p \in \mathbb{N}$ ordine di $x$ e i digits $\alpha_i \in \mathbb{N}$ che verificano $0<\alpha_i
\(\displaystyle r_n \leq x
Sono arrivato alla dimostrazione (solo nel caso $q$ intero in realtà) che innanzitutto una espressione q-aria di un numero reale $x$ non può contenere, da un certo indice in poi, solo digits uguali al massimo possibile, ovvero \(\displaystyle \alpha_i = q-1 \). In tal caso infatti sfruttando la disuguaglianza scritta sopra si arriverebbe ad un assurdo.
Poi, sono riuscito a dimostrare (anche qui solo nel caso $q$ intero) che se due successioni di somme parziali $\{r_n\}$ e $\{r'_n\}$ sono diverse da un certo indice $N$ in poi, allora è sufficiente verificare se $\alpha_{p-N}>\alpha '_{p-N}$ oppure $\alpha_{p-N}<\alpha '_{p-N}$, per poter concludere rispettivamente che $r_n>r'_n$ oppure $r_n
Con queste cose posso solo dire che, se ad esempio $r_n>r'_n$ per ogni indice superiore a $N$, allora:
\(\displaystyle r_n'< r_n \leq x
il che comunque consente solo di scrivere:
\(\displaystyle x'=\lim_{n \to \infty}r_n'\leq\lim_{n \to \infty}r_n=x \)
e non invece ciò che vorrei ottenere:
\(\displaystyle x'=\lim_{n \to \infty}r_n' < \lim_{n \to \infty}r_n=x \).
Qualche spunto?
Grazie in anticipo.
Risposte
Non si può arguire che la rappresentazione $q$-esimale di $x$ di due numeri diversi è diversa a partire dall'algoritmo che la costruisce? https://en.wikipedia.org/wiki/Non-integ ... esentation
Ciao killing_buddha e grazie per la risposta.
Non riesco a vedere come però.
L'algoritmo utilizzato è quello di iterare il principio di Archimede sulle diverse approssimazioni successive $r_n$ del numero reale positivo che si vuole raggiungere, $x$. Cioè applicarlo ogni volta al numero: \(\displaystyle \frac{x-r_n}{q^{p-n-1}} \).
Tale principio dice che scelto un numero reale (nel mio caso proprio \(\displaystyle \frac{x-r_n}{q^{p-n-1}} \) ) esiste un unico $\alpha_{p-n-1} \in \mathbb{Z}$ tale che:
\(\displaystyle \alpha_{p-n-1} \leq \frac{x-r_n}{q^{p-n-1}} < \alpha_{p-n-1} +1\).
Questo mica mi garantisce che se avessi scelto un altro \(\displaystyle x' \neq x \), avrei ottenuto un \(\displaystyle \alpha_{p-n-1}' \) differente?
Mi dice solo che fissato un $x$, questo $\alpha_{p-n-1}$ è unico, ma nel senso che non trovo un altro intero che mi verifica la disuguaglianza di sopra (Archimede) e non nel senso che a $x$ diversi corrispondono $\alpha_{p-n-1}$ diversi, o sbaglio?
Scusa se non capisco
"killing_buddha":
Non si può arguire che la rappresentazione q-esimale di x di due numeri diversi è diversa a partire dall'algoritmo che la costruisce?
Non riesco a vedere come però.
L'algoritmo utilizzato è quello di iterare il principio di Archimede sulle diverse approssimazioni successive $r_n$ del numero reale positivo che si vuole raggiungere, $x$. Cioè applicarlo ogni volta al numero: \(\displaystyle \frac{x-r_n}{q^{p-n-1}} \).
Tale principio dice che scelto un numero reale (nel mio caso proprio \(\displaystyle \frac{x-r_n}{q^{p-n-1}} \) ) esiste un unico $\alpha_{p-n-1} \in \mathbb{Z}$ tale che:
\(\displaystyle \alpha_{p-n-1} \leq \frac{x-r_n}{q^{p-n-1}} < \alpha_{p-n-1} +1\).
Questo mica mi garantisce che se avessi scelto un altro \(\displaystyle x' \neq x \), avrei ottenuto un \(\displaystyle \alpha_{p-n-1}' \) differente?
Mi dice solo che fissato un $x$, questo $\alpha_{p-n-1}$ è unico, ma nel senso che non trovo un altro intero che mi verifica la disuguaglianza di sopra (Archimede) e non nel senso che a $x$ diversi corrispondono $\alpha_{p-n-1}$ diversi, o sbaglio?
Scusa se non capisco
Ah ecco, forse ho capito.
Ho rielaborato in maniera un pò più formale la dimostrazione che utilizza principio di Archimede come algoritmo di costruzione. Formalmente voglio dimostrare che, fissato $q>1$:
\(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}^+\exists ! p \in \mathbb{Z}\) e inoltre \(\displaystyle \exists ! \alpha:\mathbb{N} \to \{0,1,...,\left \lceil q-1 \right \rceil\} \) tali che \(\displaystyle \bigg( q^p \leq x < q^{p+1} \bigg) \wedge \bigg( \sum_{k=0}^{n}\alpha (k+1) q^{p-k}=r_n \leq x < r_n+q^{p-n}\;\;\;\; \forall n \in \mathbb{N} \cup \{0\}\bigg) \).
In altre parole qualunque $x$ positivo io prenda trovo sempre una unica successione di digits $\alpha (n)$ con certe restrizioni e un ordine $p$, intero, che mi permettono di comporre una successione di somme parziali $r_n$ che approssimino sempre meglio il valore $x$.
Proof:
Il fatto che \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}^+\exists ! p \in \mathbb{Z}\) tale che \(\displaystyle q^p \leq x < q^{p+1} \) si dimostra banalmente per assurdo.
Siano: \(\displaystyle \mathcal{A}_1=\{k \in \mathbb{Z}|\frac{x}{q^p}
Ognuno di tali insiemi è un sottoinsieme di $\mathbb{Z}$ non vuoto e limitato inferiormente $\Rightarrow$ ognuno di essi ammette minimo $\Rightarrow \forall n \in \mathbb{N}$ si ha che \(\displaystyle \min \mathcal{A}_n -1 \leq \frac{x-\sum_{m=1}^{n-1}q^{p-(m-1)}\cdot (\min \mathcal{A}_m-1)}{q^{p-(n-1)}}<\min \mathcal{A}_n \) o equivalentemente che \(\displaystyle \sum_{m=1}^{n}q^{p-(m-1)}\cdot (\min \mathcal{A}_m-1) \leq x< q^{p-(n-1)}+\sum_{m=1}^{n}q^{p-(m-1)}\cdot (\min \mathcal{A}_m-1) \).
Sia allora \(\displaystyle \alpha:\mathbb{N} \to \mathbb{Z} \) tale che \(\displaystyle \alpha (n) =\min \mathcal{A}_n -1 \), allora: \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\alpha (k+1) q^{p-k}=r_n \leq x < r_n+q^{p-n}\;\;\;\; \forall n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \).
Resta solo da far vedere che \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \) si ha la restrizione \(\displaystyle 0 \leq \alpha (n) < q \).
Si può dimostrare utilizzando quanto appena dimostrato:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
r_{n-1} \leq x < r_{n-1} +q^{p-(n-1)}\\
r_{n} \leq x < r_{n} +q^{p-n}
\end{matrix}\right. \Rightarrow 0\leq \alpha (n+1)
Il caso $n=1$ è un caso particolare che si ottiene da queste condizioni:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
q^p \leq x < q^{p+1}\\
r_{0} \leq x < r_{0} +q^{p}
\end{matrix}\right. \Rightarrow 0<\alpha (1)
End proof.
Questo dovrebbe esaurire quello che volevo dimostrare in [1], poiché l'unicità della successione deriva dal fatto che il minimo di un insieme è unico.
Come corollario si ha inoltre (facilmente per assurdo) che la successione $\alpha (n)$ non può essere tale che \(\displaystyle \alpha (n) = \left \lceil q-1 \right \rceil \) per ogni indice superiore a un certo $N \in \mathbb{N}$.
Questo però sembra in contrasto con questo:
\(\displaystyle 0.9999...=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}9 \cdot 10^{-k}=9 \cdot \frac{1}{9}=1 \in \mathbb{R} \)
Come si concilia il corollario che vieta una situazione del genere, con questo "controesempio"?
Ho rielaborato in maniera un pò più formale la dimostrazione che utilizza principio di Archimede come algoritmo di costruzione. Formalmente voglio dimostrare che, fissato $q>1$:
\(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}^+\exists ! p \in \mathbb{Z}\) e inoltre \(\displaystyle \exists ! \alpha:\mathbb{N} \to \{0,1,...,\left \lceil q-1 \right \rceil\} \) tali che \(\displaystyle \bigg( q^p \leq x < q^{p+1} \bigg) \wedge \bigg( \sum_{k=0}^{n}\alpha (k+1) q^{p-k}=r_n \leq x < r_n+q^{p-n}\;\;\;\; \forall n \in \mathbb{N} \cup \{0\}\bigg) \).
In altre parole qualunque $x$ positivo io prenda trovo sempre una unica successione di digits $\alpha (n)$ con certe restrizioni e un ordine $p$, intero, che mi permettono di comporre una successione di somme parziali $r_n$ che approssimino sempre meglio il valore $x$.
Proof:
Il fatto che \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}^+\exists ! p \in \mathbb{Z}\) tale che \(\displaystyle q^p \leq x < q^{p+1} \) si dimostra banalmente per assurdo.
Siano: \(\displaystyle \mathcal{A}_1=\{k \in \mathbb{Z}|\frac{x}{q^p}
Ognuno di tali insiemi è un sottoinsieme di $\mathbb{Z}$ non vuoto e limitato inferiormente $\Rightarrow$ ognuno di essi ammette minimo $\Rightarrow \forall n \in \mathbb{N}$ si ha che \(\displaystyle \min \mathcal{A}_n -1 \leq \frac{x-\sum_{m=1}^{n-1}q^{p-(m-1)}\cdot (\min \mathcal{A}_m-1)}{q^{p-(n-1)}}<\min \mathcal{A}_n \) o equivalentemente che \(\displaystyle \sum_{m=1}^{n}q^{p-(m-1)}\cdot (\min \mathcal{A}_m-1) \leq x< q^{p-(n-1)}+\sum_{m=1}^{n}q^{p-(m-1)}\cdot (\min \mathcal{A}_m-1) \).
Sia allora \(\displaystyle \alpha:\mathbb{N} \to \mathbb{Z} \) tale che \(\displaystyle \alpha (n) =\min \mathcal{A}_n -1 \), allora: \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\alpha (k+1) q^{p-k}=r_n \leq x < r_n+q^{p-n}\;\;\;\; \forall n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \).
Resta solo da far vedere che \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \) si ha la restrizione \(\displaystyle 0 \leq \alpha (n) < q \).
Si può dimostrare utilizzando quanto appena dimostrato:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
r_{n-1} \leq x < r_{n-1} +q^{p-(n-1)}\\
r_{n} \leq x < r_{n} +q^{p-n}
\end{matrix}\right. \Rightarrow 0\leq \alpha (n+1)
Il caso $n=1$ è un caso particolare che si ottiene da queste condizioni:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
q^p \leq x < q^{p+1}\\
r_{0} \leq x < r_{0} +q^{p}
\end{matrix}\right. \Rightarrow 0<\alpha (1)
End proof.
Questo dovrebbe esaurire quello che volevo dimostrare in [1], poiché l'unicità della successione deriva dal fatto che il minimo di un insieme è unico.
Come corollario si ha inoltre (facilmente per assurdo) che la successione $\alpha (n)$ non può essere tale che \(\displaystyle \alpha (n) = \left \lceil q-1 \right \rceil \) per ogni indice superiore a un certo $N \in \mathbb{N}$.
Questo però sembra in contrasto con questo:
\(\displaystyle 0.9999...=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}9 \cdot 10^{-k}=9 \cdot \frac{1}{9}=1 \in \mathbb{R} \)
Come si concilia il corollario che vieta una situazione del genere, con questo "controesempio"?
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