Espressione complessa

[Gost91]

Salve a tutti!

Vorrei dimostrare che per \(t \in [-T/2,T/2]\) vale la seguente relazione:

\[\Bigr \| \sum_{i \in I}C_i\phi_i(t) \Bigr \|^2=\sum_{i \in I} |C_i|^2\]

dove

\[\| x\|:=\sqrt{\int_{-T/2}^{T/2} |x|^2 \text{ d}t} \]

le costanti \(C_i\) in genere sono complesse e la sequenza di funzioni, anch'esse in genere complesse, \(\{\phi_i (t)\}_{i \in I}\) costituisce un insieme di funzioni ortonormali, cioè soddisfano la seguente relazione \(\forall i,k \in I\):

\[<\phi_i,\phi_k>=\begin{cases} 1 & \text{se } i=k \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}\]

dove, indicando con \(y^*\) il coniugato di \(y\), si definisce:

\[:=\int_{-T/2}^{T/2} xy^* \text{ d}t \]




Indicando con \(\angle x\) l'argomento di \(x\), credo di poter scrivere che:

\[\begin{split}

\Bigr \| \sum_{i \in I}C_i\phi_i(t) \Bigr \|^2
&=\int_{-T/2}^{T/2} \Bigr | \sum_{i \in I} C_i \phi_i (t) \Bigr|^2 \text{ d}t \\
&=\int_{-T/2}^{T/2} \Bigr | \sum_{i \in I} |C_i| |\phi_i (t)| \exp{\{\text{ j}[\angle C_i+ \angle \phi_i (t)]\}} \Bigr|^2 \text{ d}t \\
&=\int_{-T/2}^{T/2} \Bigr | \sum_{i \in I} |C_i|\exp{\{\text{ j}[\angle C_i+ \angle \phi_i (t)]\}} \Bigr|^2 \text{ d}t \\
&=\int_{-T/2}^{T/2} \sum_{i \in I} |C_i|^2 \text{ d}t \\
&=T\sum_{i \in I} |C_i|^2
\end{split}\]

Vorrei sapere se i conti svolti sono corretti, in modo da capire se la relazione iniziale è vera o se ho commesso qualche errore concettuale.

[robbstark1]

Essenzialmente il risultato dovrebbe essere corretto, a parte una $T$ che forse hai scordato, ma non mi convincono i passaggi.
Secondo me è molto più chiaro così:
$int_{-T/2}^{T/2} | sum_{i=1}^{n} C_i phi_i(t) |^2dt = int_{-T/2}^{T/2} sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{n} C_i C'_j phi_i(t) phi'_j(t) dt = sum_{i=1}^{n} int_{-T/2}^{T/2} |C_i|^2 dt = T sum_{i=1}^{n} |C_i|^2$
tendendo conto dell'ortonormalità delle $phi_i$.

[Gost91]

Grazie per la risposta!

Comunque si, sono molto più chiari i tuoi di conti!