Espressione asintotica

[ContadinO1]

$ nln n + ln (1+ 1 / ((n)^(n-1/2))) $

perchè è asintotico a $ nln n $ ??

non dovrebbe essere asintotico a $ nln n + 1 / ((n)^(n-1/2)) $ ?? in quanto $ ln(1 + E(x)) to E(x) $ ???

se qualcuno me lo spiega gliene sarò grato

[gugo82]

Penso che per capire la questione tu debba rispondere alla seguente domanda: "Quanto fa il [tex]$\lim_n \ln \left( 1+\frac{1}{n^{n-\tfrac{1}{2}}}\right)$[/tex]?"

Risposto a questo, hai finito.

[ContadinO1]

Il fatto è che mi dava una serie qualunque A(n) non pensavo dovessi applicare il lim di n che tende a infinito e quindi usavo l'asintotico su ln(1+e(x))

Grazie mille

[gugo82]

"ContadinO":in quanto $ ln(1 + E(x)) to E(x) $ ???

Una piccola nota: non si scrive [tex]$\ln (1+E(x)) \to E(x)$[/tex], ma [tex]$\ln (1+E(x)) \approx E(x)$[/tex]; questo perchè il risultato di un limite non dipende dalla variabile di limite (e la freccetta [tex]$\to$[/tex] di solito indica il passaggio al limite).

Inoltre, ricorda che la relazione vale solo se [tex]$E(x)\to 0$[/tex]; quindi nel tuo caso avresti qualcosa del tipo [tex]$x\ln x+\ln (1+E(x)) \approx x\ln x +E(x)$[/tex] per [tex]$x\to +\infty$[/tex] ma, dato che il primo addendo è infinito per [tex]$x\to +\infty$[/tex], è chiaro che l'infinitesimo [tex]$E(x)$[/tex] può essere ampiamente trascurato.

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[ContadinO1]

Per la nota ok...fino ad oggi non prendeva i simboli "asintotico a " nell'editor delle formule e per non lasciare incomprensioni ho preferito mettere la freccia.

Per il resto...

Il testo diceva...determinare un'espressione asintotica, la più semplice possibile, per la seguente successione
$ (ln(n^n + sqrt(n)))/ ln(cos 1/n) $

è per quello che non ho preso in considerazione lo studio del limite ma ho usato asintotici.

In poche parole $ nlnn $ è un infinito maggiore di $ ln(1+1/n^(n-1/2)) $ ??

ora sistemo l'avatar

[gugo82]

"ContadinO":In poche parole $ nlnn $ è un infinito maggiore di $ ln(1+1/n^(n-1/2)) $ ??

[tex]$n\ln n$[/tex] è un infinito, [tex]$\ln (1+\tfrac{1}{n^{n-\tfrac{1}{2}}})$[/tex] no, quindi quest'ultimo può essere trascurato.

Per fare un altro esempio, la situazione è la stessa di [tex]$n+\sin \tfrac{1}{n}$[/tex]: certo, essa è asintotica a [tex]$n+\tfrac{1}{n}$[/tex] (perché [tex]$\sin \tfrac{1}{n} \approx \tfrac{1}{n}$[/tex]), ma [tex]$n+\tfrac{1}{n}\approx n$[/tex], quindi [tex]$n+\sin \tfrac{1}{n} \approx n$[/tex].
Allo stesso modo hai:

[tex]$n\ln n +\ln (1+\tfrac{1}{n^{n-\tfrac{1}{2}}}) \approx n\ln n+\tfrac{1}{n^{n-\tfrac{1}{2}}} \approx n\ln n$[/tex].

Per spiegare l'arcano, basta notare che se [tex]$a_n\to +\infty$[/tex] e [tex]$b_n\to b$[/tex] con [tex]$b$[/tex] finito, allora:

[tex]$\lim_n \frac{a_n+b_n}{a_n} = \lim_n 1+\tfrac{b_n}{a_n} =1$[/tex]

sicché [tex]$a_n +b_n\approx a_n$[/tex].


P.S.: Grazie per l'avatar.