Esponenziale <-aiuto se non lo risolvo muoio...:D
Una questione che è saltata fuori risolvendo un semplicissimo limite che ora mi attanaglia il cuore...
Mettiamoci nel I quadrante e consideriamo y=$a^x$ e y=x.
1) quando i due grafici si intersecano? (al variare di a>0)
2) in particolare per quali valori la retta è tangente al grafico dell'esponenziale (in qualche suo punto)?
L'idea iniziale (meramente intuitiva) è che per "MOLTI" valori minori di e i grafici si intersechino ed è sicuro che per ogni a>e i due grafici non si intersecano.
Inoltre pare evidente che se $EEa$ tale che i grafici non si intersechino allora succede altrettanto per tutte le basi maggiori di a. (Infatti se a'>a $=>$ $AAx$ $a'^x$ > $a^x$)
Il mio problema è che non so esattamente come studiare le intersezioni tra una curva algebrica come y=x (peraltro piuttosto banale) e una cosa che curva algebrica non è.
Pensavo a lavorare con uno sviluppo in serie dell'esponenziale, ma per ora non ho ottenuto molti risultati.
Se qualcuno ha qualche idea me la faccia sapere. Grazie.
Ciao.
Mettiamoci nel I quadrante e consideriamo y=$a^x$ e y=x.
1) quando i due grafici si intersecano? (al variare di a>0)
2) in particolare per quali valori la retta è tangente al grafico dell'esponenziale (in qualche suo punto)?
L'idea iniziale (meramente intuitiva) è che per "MOLTI" valori minori di e i grafici si intersechino ed è sicuro che per ogni a>e i due grafici non si intersecano.
Inoltre pare evidente che se $EEa$ tale che i grafici non si intersechino allora succede altrettanto per tutte le basi maggiori di a. (Infatti se a'>a $=>$ $AAx$ $a'^x$ > $a^x$)
Il mio problema è che non so esattamente come studiare le intersezioni tra una curva algebrica come y=x (peraltro piuttosto banale) e una cosa che curva algebrica non è.
Pensavo a lavorare con uno sviluppo in serie dell'esponenziale, ma per ora non ho ottenuto molti risultati.
Se qualcuno ha qualche idea me la faccia sapere. Grazie.
Ciao.
Risposte
Sigh... comincio a pensare che il problema non abbia soluzione... che sconforto!
la soluzione c'è. Devi risolvere questa equazione $a^x-x=0$ per trovare le intersezioni. Ovviamente si tratta di un'equazione non lineare e qiundi non risolvibile in maniera immediata, né esiste una tecnica standard per farlo. Quella + comunemente usata e che si applica anche a questo caso è la tecnica di bisezione, che si basa sul teorema di Bolzano-Weiestrass.
Questa tecnica non ti da il risultato esatto ma una sua approssimazione, tanto più precisa quanto più grande è il numero delle iterazioni.
Nel tuo caso troveresti un risultato in funzione di $a$, cioè si intersecano in $x=...a..$, x approssimato o se vuoi un suo intorno. Ora, in linea di principio, devi studiare cosa succede al variare del parametro e, dato che già parti da un'approssimazione, non otterrai il valore esatto di $a$ per il quale hai la condizione di tangenza, ma un suo intorno, questo perché non trovi il punto di tangenza ma un punto di tangenza approssimato, un suo intorno
Questa tecnica non ti da il risultato esatto ma una sua approssimazione, tanto più precisa quanto più grande è il numero delle iterazioni.
Nel tuo caso troveresti un risultato in funzione di $a$, cioè si intersecano in $x=...a..$, x approssimato o se vuoi un suo intorno. Ora, in linea di principio, devi studiare cosa succede al variare del parametro e, dato che già parti da un'approssimazione, non otterrai il valore esatto di $a$ per il quale hai la condizione di tangenza, ma un suo intorno, questo perché non trovi il punto di tangenza ma un punto di tangenza approssimato, un suo intorno
A dire il vero mi sembra la soluzione meno pecisa possibile quella di bisezione. Infatti la precisione di approssimazione del metodo di bisezione dipende dalla natura locale del grafico e quindi non è un unfiorme lungo tutto il grafico stesso. E poi la bisezione converge pèer potenze di 2....lenta! Per adesso sto lavorando con il metodo delle tangenti di Newton che converge rapidamente e senza sforzo. Solo che mi perdo nei conti. Mi sa che dovrò avvalermi del pc per farli.
si è vero newton converge + rapidamente. Ma dato che non avevi parlato di metodi iterativi non sapevo se li conoscevi e perciò ti ho riportato quello di bisezione perché è uno dei primi che su studiano
sì ok, ma non sono proprio alle prime armi. Ho fatto analisi numerica quindi ci so lavorare con i metodi iterativi. Cmq forse ho trovato. Sto scrivendo un programmino che fa test discreti (con Newton) e poi mi dà un range di valori. Così almeno riesco a vedere se questi determinati a sono un intervallo o un'unione id intervalli o un insiemino fatto a pene di segugio.
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