Esponenziale generale

Bemipefe · 2006-06-08CEST13:25:21+02:00

"Salve!\r\n\r\nNon sono riuscito a capacitarmi di questa identit\u00e0: $a^x = e^(x*log_e(a))$\r\nEd in oltre, se questo \u00e8 vero , allora $D^1(a^x) = e^(x*log_e(a))$ visto che $D^1(e^(x*log_e(a))) = e^(x*log_e(a))$.\r\nMa poi mi viene in mente, che $e^(x*log_e(a))$ \u00e8 una funzione composta del tipo $exp_e(x*f(x))$ dove $f(x) = log_e(a)\r\n$\r\n\r\ninsomma....\r\n\r\nQualcuno potrebbe chiarirmi le idee ?"

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Bemipefe

8 giu 2006, 13:25

Salve!

Non sono riuscito a capacitarmi di questa identità: $a^x = e^(x*log_e(a))$
Ed in oltre, se questo è vero , allora $D^1(a^x) = e^(x*log_e(a))$ visto che $D^1(e^(x*log_e(a))) = e^(x*log_e(a))$.
Ma poi mi viene in mente, che $e^(x*log_e(a))$ è una funzione composta del tipo $exp_e(x*f(x))$ dove $f(x) = log_e(a)
$

insomma....

Qualcuno potrebbe chiarirmi le idee ?

Risposte

_nicola de rosa

8 giu 2006, 11:38

"Bemipefe":
Salve!

Non sono riuscito a capacitarmi di questa identità: $a^x = e^(x*log_e(a))$
Ed in oltre, se questo è vero , allora $D^1(a^x) = e^(x*log_e(a))$ visto che $D^1(e^(x*log_e(a))) = e^(x*log_e(a))$.
Ma poi mi viene in mente, che $e^(x*log_e(a))$ è una funzione composta del tipo $exp_e(x*f(x))$ dove $f(x) = log_e(a)
$

insomma....

Qualcuno potrebbe chiarirmi le idee ?

x*log_e(a)=log_e(a^x) per le proprietà dei logaritmi.
Ora applica ad a^x = e^(x*log_e(a)) il log_e ad ambo i membri ed avrai:
log_e(a^x)=log_e(e^( log_e(a^x)))
ora per le proprietà dei logaritmi log_e(e^( log_e(a^x)))=( log_e(a^x))*log_e(e)= (log_e(a^x)) c.v.d
per quanto riguarda la derivala il fattore log_e(a) è una costante per cui
D'(a^x)=D'(e^(x*log_e(a))) =log_e(a)*a^x

Giusepperoma2

8 giu 2006, 11:43

"Bemipefe":
Non sono riuscito a capacitarmi di questa identità: $a^x = e^(x*log_e(a))$

se leggo bene,

e^(x*lna) = (e^lna)^x = a^x

"Bemipefe":

Ed in oltre, se questo è vero , allora $D^1(a^x) = e^(x*log_e(a))$ visto che $D^1(e^(x*log_e(a))) = e^(x*log_e(a))$.
Ma poi mi viene in mente, che $e^(x*log_e(a))$ è una funzione composta del tipo $exp_e(x*f(x))$ dove $f(x) = log_e(a)
$

insomma....

Qualcuno potrebbe chiarirmi le idee ?

allora,

ln(a) e' una costante...

quindi

$exp_e(x*lna) e' del tipo e^Ax, la cui derivata e' Ae^Ax

cioe'

lna*e^xlna = lna*a^x

Bemipefe

8 giu 2006, 13:49

$log_e(e^( log_e(a^x)))=( log_e(a^x))*log_e(e)= (log_e(a^x))$ c.v.d

...questo è quello che mi interessava. Però per arrivarci devo applicare il logaritmo naturale a entrambi i membri dell'identità iniziale, e questo non è così evidente ne ovvio. Perchè applicare i $log_e()$ ? Come dis-applico $log_e()$ per ottenere $a^x$ ?

e' del tipo $e^(Ax)$, la cui derivata e' $Ae^(Ax)$

....ma per la regole delle potenze, la derivata non dovrebbe essere $Ax*e^(Ax-1)$ ?

In oltre ...potresti chiarirmi il fatto che $log_e(a)$ è una costante ?

Giusepperoma2

8 giu 2006, 13:57

"bemipefe":
....ma per la regole delle potenze, la derivata non dovrebbe essere $Ax*e^(Ax-1)$

occhio!!

D[f(x)^n] = n*f(x)^(n-1)

D[e^f(x)] = f'(x)*e^f(x)

una cosa e' se f e' base, un'altra se invece e' esponente!

"bemipefe":

In oltre ...potresti chiarirmi il fatto che $log_e(a)$ è una costante ?

se non dipende da x e' una costante, magari non e' un numero intero (lo e' solo nel caso in cui a sia una potenza intera di e), ma e' comunque una costante.