Esponenziale complessa

[thedarkhero]

Sia $f(z)=e^z$.
Consideriamo l'insieme $R={(a+ib):b\inRR}$ con $a$ reale fissato. Questo è l'insieme dei punti della retta parallela all'asse immaginario e con parte reale $a$.
L'immagine di $R$ attraverso $f$ è ${e^a*(cosb+isinb):y\inRR}$.
Quindi l'immagine di una qualunque retta parallela all'asse immaginario è una circonferenza di raggio $e^a$ e centro l'origine?

[dissonance]

Certo. Guarda questa pagina tratta dal libro Visual complex analysis di T. Needham:

[thedarkhero]

Analogamente l'immagine di una generica retta passante per l'origine attraverso l'esponenziale complessa dovrebbe essere:
${e^(\barbz+b\barz):z\inCC}={e^(\barbz)+e^(b\barz):z\inCC}={e^(2Re(\barbz)): z \in CC}={x\inR^+}$
Corretto?

[franced]

"dissonance":... dal libro Visual complex analysis di T. Needham:

Grande libro, veramente scritto bene.

[dissonance]

"thedarkhero":Analogamente l'immagine di una generica retta passante per l'origine attraverso l'esponenziale complessa dovrebbe essere:
${e^(\barbz+b\barz):z\inCC}={e^(\barbz)+e^(b\barz):z\inCC}={e^(2Re(\barbz)): z \in CC}={x\inR^+}$
Corretto?

Non so che conti tu abbia fatto ma c'è qualcosa che non va. Guarda bene il disegno: l'esponenziale trasforma le rette in spirali. I casi limite sono le rette orizzontali (parallele all'asse reale) che vengono trasformate in rette; e rette verticali (parallele all'asse immaginario) che vengono trasformate in circonferenze.

"franced":grande libro...

Vero. Molto bello.

[thedarkhero]

Si intuitivamente avevo capito che c'era qualcosa che non andava nel mio conto ma non riesco a trovare l'errore...i passaggi che ho fatto sono quelli che ho scritto sopra ma non capisco proprio dove sta l'errore.