Esponenziale che manda \( d \) in \( q \): esistenza e unicità
Ciao.
Siano \( d\neq 0 \) e \( q>0 \) due numeri reali;
parte prima: Sto cercando di provare che esiste un'unica funzione esponenziale che manda \( d \) in \( q \).
Dimostrazione: È equivalente dimostrare che la funzione \( p_d \) potenza ad esponente reale \( x\mapsto x^d \) è bigettiva nella restrizione ai reali positivi: l'esistenza dell'esponenziale che cerco deriva evidentemente dalla surgettività di questa, l'unicità dall'ingettività.
L'immagine della nostra restrizione della potenza \( p_d \) è un sottoinsieme dei reali positivi per come è definita. Per dimostrare l'inclusione inversa, devo provare che per un reale \( q>0 \), esiste un reale \( x>0 \) tale che \( \exp_{x}{d}=q \). Se \( d \) è intero (positivo), 'sta cosa è sicuramente vera, e \( x=q^{1/d} \).
La tentazione di porre quindi \( x \) pari a \( \exp_{q}\left(1/d\right) \) è forte: allora ho
\[
\begin{split}
\exp_{x}{d}&=\exp_{\exp_{q}\left(1/d\right)}{d}\\
&=q
\end{split}
\]
per le note proprietà della funzione esponenziale. \( \square \)
parte seconda: In quali condizioni è \( 01 \)? E \( x=1 \)?
Supponiamo che sia quindi \( x<1 \), ossia \( \exp_{q}\left(1/d\right)<1\); allora è (se \( q\) è diverso dall'unità) \( 1/d<0 \), ossia \( d<0 \), oppure \( 1/d>0 \) e quindi \( 0>d \) rispettivamente se \( q \) è maggiore o minore di \( 1 \). Analoghe per l'altra simile richiesta.
Può andare?
Siano \( d\neq 0 \) e \( q>0 \) due numeri reali;
parte prima: Sto cercando di provare che esiste un'unica funzione esponenziale che manda \( d \) in \( q \).
Dimostrazione: È equivalente dimostrare che la funzione \( p_d \) potenza ad esponente reale \( x\mapsto x^d \) è bigettiva nella restrizione ai reali positivi: l'esistenza dell'esponenziale che cerco deriva evidentemente dalla surgettività di questa, l'unicità dall'ingettività.
L'immagine della nostra restrizione della potenza \( p_d \) è un sottoinsieme dei reali positivi per come è definita. Per dimostrare l'inclusione inversa, devo provare che per un reale \( q>0 \), esiste un reale \( x>0 \) tale che \( \exp_{x}{d}=q \). Se \( d \) è intero (positivo), 'sta cosa è sicuramente vera, e \( x=q^{1/d} \).
La tentazione di porre quindi \( x \) pari a \( \exp_{q}\left(1/d\right) \) è forte: allora ho
\[
\begin{split}
\exp_{x}{d}&=\exp_{\exp_{q}\left(1/d\right)}{d}\\
&=q
\end{split}
\]
per le note proprietà della funzione esponenziale. \( \square \)
parte seconda: In quali condizioni è \( 0
Supponiamo che sia quindi \( x<1 \), ossia \( \exp_{q}\left(1/d\right)<1\); allora è (se \( q\) è diverso dall'unità) \( 1/d<0 \), ossia \( d<0 \), oppure \( 1/d>0 \) e quindi \( 0>d \) rispettivamente se \( q \) è maggiore o minore di \( 1 \). Analoghe per l'altra simile richiesta.
Può andare?
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