Esponenziale

[LevN]

Ciao ragazzi, avrei bisogno di un aiutino per quanto riguarda un esercizio. L'esercizio è questo: data la funzione esponenziale $f(x)=a^x$ con $a>1$ dimostrare che fissato un $y in R$ esiste un $x$ tale che $a^x>y$. Dimostrare con la disuguaglianza di Bernoulli.
Io ho provato a ragionarci sopra ma non riesco a capire il collegamento con la disuguaglianza. Magari potreste darmi un consiglio su come procedere? Voglio arrivarci da solo.
Grazie per l'aiuto.

[dan952]

Fissiamo $y \in RR$, per la proprietà archimedea $\exists n \in NN : n(a-1)>y$, per la disuguaglianza di Bernoulli abbiamo che $a^n \geq 1+n(a-1)>y$...

[billyballo2123]

Posto $b=a-1$ (nota che $b>0$ dato che $a>1$), fissa $n\in\mathbb{N}$ tale che $1+nb>y$. Allora
\[
a^n=(1+b)^n\geq 1+nb>y,
\]
dunque basta porre $x=n$.

[LevN]

Scusate ma la disuguaglianza di Bernoulli non vale per $n in N$? Il mio $x$ dovrebbe essere un numero reale e non naturale...vale la stessa dimostrazione?

Sì..$NsubR$

[billyballo2123]

L'esercizio ti dice che dato $y\in\mathbb{R}$, tu devi trovare almeno un $x\in\mathbb{R}$ tale che $a^x>y$.
Se poi $x\in \mathbb{N}$ non è un problema dato che $\mathbb{N}\subset\mathbb{R}$.