Esponenti coniugati

[ti2012]

Buongiorno a tutti. Scusatemi, nello studio degli esponenti coniugati ho studiato che due numeri reali positivi si chiamano esponenti coniugati se $1/p + 1/q = 1$
o equivalentemente moltiplicando entrambi i membri per pq abbiamo
p+q = pq.
Come terza equivalenza c'è scritto che si ha anche l'espressione:
(p-1)(q-1) = 1.
Se volessimo utilizzare il prodotto pq e fare operazioni con esso in "p+q = pq" per trovare "(p-1)(q-1) = 1", come si dovrebbe procedere?
Ho impiegato qualche ora ma non sono arrivata a nessuna conclusione, help .
Grazie mille

[Weierstress]

Ciao, basta espandere il prodotto tenendo in considerazione che $pq=p+q$...

[ti2012]

Non so se ho capito bene, ma se sostituisco pq = p+q in "p+q = pq" avrei un'identità..come giungerei ad affermare che abbiamo "(p-1)(q-1) = 1" ?
Ancora grazie mille.

[Weierstress]

$(p-1)(q-1)=(pq-p-q+1)=(p+q-p-q+1)=1$

Davvero, è così semplice

[pilloeffe]

Ciao ti2012,

La verifica di Weierstress è corretta, ma credo tu volessi capire come arrivarci...
Farei così:

$p + q = pq \implies p = pq - q = q(p - 1) $;
$p + q = pq \implies q = pq - p = p(q - 1) $

Moltiplicando membro a membro si ottiene $pq = pq(p - 1)(q - 1) \implies (p - 1)(q - 1) = 1 $.

[ti2012]

Grazie . Certo, non avevo messo minimamente in dubbio la correttezza dei messaggi di Weierstress .
In realtà sugli appunti c'è scritto che come prima cosa dobbiamo sommare e sottrarre pq dal primo membro di p+q=pq e poi c'è scritta una cosa non molto comprensibile..allora per questo avevo ritenuto opportuno non scrivere questo dettaglio nel primo messaggio ..
Con il dettaglio ora fornito, come si dovrebbe procedere ?
Ancora grazie tantissimo.

[pilloeffe]

Prego!

"ti2012":In realtà sugli appunti c'è scritto che come prima cosa dobbiamo sommare e sottrarre pq dal primo membro di p+q=pq e poi c'è scritta una cosa non molto comprensibile..

Non so cosa c'è scritto sui tuoi appunti e non sono nella testa del tuo professore, per cui non ho idea di come intendesse dimostrarla... Se proprio non ti piace la mia dimostrazione (che a me invece non sembrava poi così malaccio... ), eccotene una alternativa:

$p + q = pq \implies q = p/(p - 1)$
$p + q = pq \implies p = q/(q - 1)$

Quindi si può scrivere:

$p + q = pq $
$q/(q - 1) + p/(p - 1) = pq $
$frac{pq - q + pq - p}{(p - 1)(q - 1)} = pq $
$frac{pq}{(p - 1)(q - 1)} = pq $

Da cui l'asserto:

$(p - 1)(q - 1) = 1 $

[ti2012]

Grazie mille ^_^