Esplicitare la y in funzione di x con taylor e dini
f(x,y)=x^2+y^2-1=0
devo esplicitare la y=y(x) cioè la y in funzione di x se ho ben capito nel punto P(0,1).
Per prima cosa ho applicato Dini e ho verificato che f(0,1)=0 quindi la prima condizione è soddisfatta e la derivata parziale di f su y è 2y, che sostituito è 2 che è diverso da 0, quindi anche la seconda condizione di dini è verificata.
Ora dovrei usare taylor e inserirlo nella funzione, ma mi blocco, cioè mi viene f(x,y)=2(y-1) +o(x,y-1)
Dove ho errato?
devo esplicitare la y=y(x) cioè la y in funzione di x se ho ben capito nel punto P(0,1).
Per prima cosa ho applicato Dini e ho verificato che f(0,1)=0 quindi la prima condizione è soddisfatta e la derivata parziale di f su y è 2y, che sostituito è 2 che è diverso da 0, quindi anche la seconda condizione di dini è verificata.
Ora dovrei usare taylor e inserirlo nella funzione, ma mi blocco, cioè mi viene f(x,y)=2(y-1) +o(x,y-1)
Dove ho errato?
Risposte
Rileggi bene l'enunciato del Teorema della Funzione implicita (Dini). Nella versione che conosco io, il teorema dà anche alcune informazioni (preziosissime!) sulla regolarità della funzione implicita e sul valore della sua derivata (nel punto attorno a cui vuoi esplicitare). E questo è proprio quello che ti serve: una volta che avrai capito quanto vale la derivata della funzione definita implicitamente potrai applicare Taylor e concludere il tuo esercizio.
E' un teorema molto importante e, a prima vista, può sembrare un po' strano: infatti, ti dice che sotto opportune ipotesi puoi esplicitare una variabile in funzione delle altre, ma ovviamente non ti dice "come" (non sempre puoi fare i conti e trovare l'espressione esplicita della funzione!); tuttavia ti dà informazioni sulla derivata e sulla regolarità della funzione.
Insomma, ricordo che quando l'ho studiato questa cosa mi aveva colpito; e ci tengo a sottolineare che, personalmente, lo trovo un teorema molto, molto bello.
E' un teorema molto importante e, a prima vista, può sembrare un po' strano: infatti, ti dice che sotto opportune ipotesi puoi esplicitare una variabile in funzione delle altre, ma ovviamente non ti dice "come" (non sempre puoi fare i conti e trovare l'espressione esplicita della funzione!); tuttavia ti dà informazioni sulla derivata e sulla regolarità della funzione.
Insomma, ricordo che quando l'ho studiato questa cosa mi aveva colpito; e ci tengo a sottolineare che, personalmente, lo trovo un teorema molto, molto bello.
Quindi quelle che ho elencato io non è il teorema di dini ma le condizioni per applicare il teorema di dini?
Cioè il teorema di dini cosa mi dice oltre che è possibile esplicitare y(x) in quel punto se ci sono quelle condizioni?
Cioè il teorema di dini cosa mi dice oltre che è possibile esplicitare y(x) in quel punto se ci sono quelle condizioni?
Prova a scrivere l'enunciato che conosci tu, quello che hai sugli appunti e/o quello che c'è sul tuo libro.
Non riesco a ritrovare proprio l'enunciato sugli appunti, comunque il succo che il prof ci ha detto di ricordare era questo, c'è anche qualcos altro che dovrei sapere?
Provato a cercare sul libro? O in alternativa hai letto qui?
Lì su wiki c'è proprio quello che ti serve. Prova a pensarci.
Lì su wiki c'è proprio quello che ti serve. Prova a pensarci.
scusa se probabilmente abuso della tua pazienza ma sono negato in tutto ciò e continuo a non capire, ho fatto bene o no quindi, dalla parte che mi hai linkato non capisco cosa devo aggiungere e se e come devo proseguire?
Allora facciamo così.
Vogliamo applicare il teorema della funzione implicita nel punto $P=(0,1)$ alla funzione $f(x,y) : \mathbb R^{2} \to \mathbb R$.
Va bene. Aggiungo che la funzione $f$ è di classe $C^1$ (che è un'altra ipotesi di Dini).
Quindi possiamo applicare il teorema e concludere che esistono un intorno $I_0$ di $x_0=0$, un intorno $J_0$ di $y_0=1$ e una funzione [tex]\phi \colon I_0 \to J_0[/tex] tale che $1=\phi(0)$ e $y=phi(x) \Leftrightarrow f(x,y)=0$ per ogni $(x,y) \in I_0 \times J_0$. Inoltre, $\phi$ è di classe $C^{1}(I_0)$ e la derivata in $x_0$ vale
\[
\phi'(x_0) = - \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)}{\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)}
\]
(Domanda: perchè tale espressione per la derivata è sensata?)
Quindi nel nostro caso risulta $\phi'(x_0)=0$. Ricordando che $1=\phi(0)$, hai subito polinomio di Taylor del primo ordine (i.e. la retta tangente al grafico) di $phi$ in $x_0=0$, che è quanto volevi.
E' chiaro?
Voglio sottolineare due cose: 1) occorre avere la completa padronanza dell'enunciato (almeno!) di un teorema prima di cominciare a fare esercizi relativi al teorema in questione; 2) siccome la $f(x,y)$ ha un'espressione facile, riesci a vedere un altro modo di svolgere l'esercizio? Insomma, per un attimo fai finta di non aver mai incontrato Dini. Se ti dicessero: "Esplicita la $y$ da $x^2+y^2+1=0$" che cosa faresti?
Ti invito a fare esplicitamente i conti e a ritrovare i medesimi risultati.
Spero sia tutto chiaro.
"MatDido92":
f(x,y)=x^2+y^2-1=0 devo esplicitare la y=y(x) cioè la y in funzione di x se ho ben capito nel punto P(0,1).
Vogliamo applicare il teorema della funzione implicita nel punto $P=(0,1)$ alla funzione $f(x,y) : \mathbb R^{2} \to \mathbb R$.
"MatDido92":
Per prima cosa ho applicato Dini e ho verificato che f(0,1)=0 quindi la prima condizione è soddisfatta e la derivata parziale di f su y è 2y, che sostituito è 2 che è diverso da 0, quindi anche la seconda condizione di dini è verificata.
Va bene. Aggiungo che la funzione $f$ è di classe $C^1$ (che è un'altra ipotesi di Dini).
Quindi possiamo applicare il teorema e concludere che esistono un intorno $I_0$ di $x_0=0$, un intorno $J_0$ di $y_0=1$ e una funzione [tex]\phi \colon I_0 \to J_0[/tex] tale che $1=\phi(0)$ e $y=phi(x) \Leftrightarrow f(x,y)=0$ per ogni $(x,y) \in I_0 \times J_0$. Inoltre, $\phi$ è di classe $C^{1}(I_0)$ e la derivata in $x_0$ vale
\[
\phi'(x_0) = - \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)}{\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)}
\]
(Domanda: perchè tale espressione per la derivata è sensata?)
Quindi nel nostro caso risulta $\phi'(x_0)=0$. Ricordando che $1=\phi(0)$, hai subito polinomio di Taylor del primo ordine (i.e. la retta tangente al grafico) di $phi$ in $x_0=0$, che è quanto volevi.
E' chiaro?
Voglio sottolineare due cose: 1) occorre avere la completa padronanza dell'enunciato (almeno!) di un teorema prima di cominciare a fare esercizi relativi al teorema in questione; 2) siccome la $f(x,y)$ ha un'espressione facile, riesci a vedere un altro modo di svolgere l'esercizio? Insomma, per un attimo fai finta di non aver mai incontrato Dini. Se ti dicessero: "Esplicita la $y$ da $x^2+y^2+1=0$" che cosa faresti?
Ti invito a fare esplicitamente i conti e a ritrovare i medesimi risultati.
Spero sia tutto chiaro.
dovrei fare
y=+-$sqrt(x^2-1)$ ma in quel caso non è una funzione?
però continuo a non capire, cioè la funzione esplicitata in x quindi quanto vale?
y=+-$sqrt(x^2-1)$ ma in quel caso non è una funzione?
però continuo a non capire, cioè la funzione esplicitata in x quindi quanto vale?
"MatDido92":
dovrei fare
y=+-$sqrt(x^2-1)$ ma in quel caso non è una funzione?
E che cosa puoi fare perché diventi una funzione? Che segno scegli?
"MatDido92":
però continuo a non capire, cioè la funzione esplicitata in x quindi quanto vale?
Mi spiace, ma la domanda, scritta così, è priva di senso. Prova a riformularla.
non so, potrei prendere il + e in quel caso avrei la metà superiore della circonferenza o il meno, in entrambi i casi sarebbe una funzione no?
Per la domanda non so essere più chiaro, y(x) a quanto è uguale, qual è l'equazione?
Poi il professore ci ha anche detto di trovarla fino al secondo ordine, non ho idea di cosa voglia dire...
Per la domanda non so essere più chiaro, y(x) a quanto è uguale, qual è l'equazione?
Poi il professore ci ha anche detto di trovarla fino al secondo ordine, non ho idea di cosa voglia dire...
"MatDido92":
non so, potrei prendere il + e in quel caso avrei la metà superiore della circonferenza o il meno, in entrambi i casi sarebbe una funzione no?
Sì certo, in entrambi i casi è una funzione. Ma quale prendi? Insomma, in che punto ti trovi?
"MatDido92":
Per la domanda non so essere più chiaro, y(x) a quanto è uguale, qual è l'equazione?
L'hai scritto tu nel tuo post!Poi il professore ci ha anche detto di trovarla fino al secondo ordine, non ho idea di cosa voglia dire...
Sì, ma se non hai ancora capito come trovarla al primo ordine è inutile che cerchi di andare avanti...
Mi spiace, continuo a ripeterti che finché non ti metti lì e ti studi la teoria (dagli appunti o dal libro) non puoi fare questi esercizi.
quella positiva perchè mi trovo in (0,1) quindi è l'unica a corrispondere giusto? penso di aver quasi capito xD
Però non capisco dove applico Taylor in tutto ciò e come lo faccio al secondo ordine, il teorema in teoria l'ho studiato, ma se non riesco ad applicarlo non lo capirò mai
Però non capisco dove applico Taylor in tutto ciò e come lo faccio al secondo ordine, il teorema in teoria l'ho studiato, ma se non riesco ad applicarlo non lo capirò mai
facciamo un altro esempio, metti che ho
F(x,y)=x^3+y^3-3xy=0
E devo trovare con taylor y=y(x) nel punto(2^1/3,2^2/3)
Usando dini vedo che è possibile scrivere y=y(x) per le condizioni di prima, ma poi come me la esplicito?
F(x,y)=x^3+y^3-3xy=0
E devo trovare con taylor y=y(x) nel punto(2^1/3,2^2/3)
Usando dini vedo che è possibile scrivere y=y(x) per le condizioni di prima, ma poi come me la esplicito?
Ma se l'importanza di questi teoremi sta proprio nel fatto che si possono applicare quando NON è possibile esplicitare \(y(x)\). E' il caso degli esercizi che proponi.
Niente, devi studiarti la teoria. Avresti fatto prima a farlo subito invece di brancolare nel buio così. Prendi il libro e leggiti il paragrafo dedicato al teorema del Dini.
[xdom="dissonance"]Inoltre ti informo che dal prossimo messaggio è per te obbligatorio scrivere correttamente le formule. Istruzioni qui:
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html[/xdom]
Niente, devi studiarti la teoria. Avresti fatto prima a farlo subito invece di brancolare nel buio così. Prendi il libro e leggiti il paragrafo dedicato al teorema del Dini.
[xdom="dissonance"]Inoltre ti informo che dal prossimo messaggio è per te obbligatorio scrivere correttamente le formule. Istruzioni qui:
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html[/xdom]
Ma sul libro c'è scritto quello che è scritto su wikipedia, ma non capisco come devo comportarmi senza nemmeno un esempio
P.s grazie per la guida, mi attengo dal prossimo post
P.s grazie per la guida, mi attengo dal prossimo post
E allora devi consultare qualche altro libro o qualche altra risorsa di altro tipo. Occhio a non cercare troppo su Internet perché girano un mucchio di porcherie. Però ti consiglio il sito
http://www.batmath.it
clic su Matematica > Analisi 2 > Funzioni implicite, massimi e minimi vincolati (file pdf).
http://www.batmath.it
clic su Matematica > Analisi 2 > Funzioni implicite, massimi e minimi vincolati (file pdf).
grazie mille, do subito un'occhiata, qualcuno che mi da una mano con l'esempio che ho messo invece non c'è proprio speranza?
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