Esplicitare integrale

[5mrkv]

Ho \(\varphi(r,\theta) \in \mbox{C}_{0}^{\infty}\). Devo risolvere l'integrale per \(\varphi\) qualsiasi. Com'è che viene \(2 \pi (0,0)\) ?
\[
\begin{split}
\int
\int
\frac{\partial}{\partial r}
\left (
r \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}
\right )
ln(r)\mbox{d}r\mbox{d}\theta
&= \\

\int
\left \{
\left [
r \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}
ln(r)
\right]_{r=0}^{r=\infty}
-\int
r \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\frac{1}{r}
\mbox{d}r
\right \}
\mbox{d}\theta
&= \\

\int
\left \{
\left [
r \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}
ln(r)
\right]_{r=0}^{r=\infty}
-\int
\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}
\mbox{d}r
\right \}
\mbox{d}\theta

\end{split}
\]

[robbstark1]

Il termine che hai portato fuori dall'integrale è nullo perchè per [tex]\frac{ \partial \phi}{ \partial \theta } = 0[/tex] per $r -> infty$ e $r ln r -> 0$ per $r->0^+$.
Per l'integrale che resta, scambiando nuovamente l'ordine d'integrazione:
[tex]\int_{0}^{+ \infty} \int_{0}^{2 \pi} \frac{ \partial \phi}{ \partial \theta } d \theta dr[/tex]
[tex]\theta=0[/tex] e [tex]\theta = 2 \pi[/tex] con $r$ fissato, sono lo stesso punto, quindi, data la continuità di $phi$, la primitiva in $theta$ assume lo stesso valore ai due estremi dell'integrale, e dunque si annulla,
a meno che non sia $r=0$, per cui mi verrebbe da dire che si può tirare fuori la derivata dall'integrale , ottenendo [tex]\frac{ \partial \phi}{ \partial \theta } (0, \theta ) \int_{0}^{2 \pi} d \theta = 2 \pi \frac{ \partial \phi}{ \partial \theta } (0, \theta )[/tex], e $theta$ può essere qualsiasi, tanto per $r=0$ non incide.
E' questa la soluzione?

[5mrkv]

Scusa ho sbagliato a scrivere. Dovrebbe venire \(2 \pi \varphi(0,0)\) non \(2 \pi (0,0)\). Quella roba viene fuori dall'operatore di Laplace applicato a \(\varphi\) e poi integrato.

[robbstark1]

Sì, avevo capito che c'era un errore di scrittura. Però a me viene [tex]2 \pi \frac{ \partial \phi }{ \partial \theta} (0,0)[/tex].

[5mrkv]

Nell'esercizio bisognava scrivere il laplaciano in coordinate polari. L'ho sbagliato, sarebbe
\[
\begin{split}
\int
\int
\frac{\partial}{\partial r}
\left (
r \frac{\partial \varphi}{\partial r}
\right )
ln(r)\mbox{d}r\mbox{d}\theta
&= \\

\int
\left \{
\left [
r \frac{\partial \varphi}{\partial r}
ln(r)
\right]_{r=0}^{r=\infty}
-\int
r \frac{\partial \varphi}{\partial r}\frac{1}{r}
\mbox{d}r
\right \}
\mbox{d}\theta
&= \\

\int
\left \{
\left [
r \frac{\partial \varphi}{\partial r}
ln(r)
\right]_{r=0}^{r=\infty}
-\int
\frac{\partial \varphi}{\partial r}
\mbox{d}r
\right \}
\mbox{d}\theta
&= \\

\int_{0}^{2\pi}\varphi (0,\theta)\mbox{d}\theta
&= \\

2\pi \varphi (0,\overline{\theta})
&= \\

2\pi \varphi (0,0)
\end{split}
\]
Dove la penultima segue dal teorema del valor medio e l'ultima da ciò che hai detto tu.