Espansione di Fourier

[Blizz1]

Ciao,
vi chiedo un parere a riguardo a questo esercizio:



L'espansione in serie di Fourier è:

$$ \sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{inx}}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} e^{i\frac{s}{2}} e^{-ins} ds $$

Svolgendo l'integrale ottengo:

$$ \frac{4i}{1-2n} (-1)^n $$

Quindi l'espansione di Fourier, secondo i miei conti è:

$$ (-1)^n \frac{2i}{\pi(1-2n)} e^{inx}$$

Però tra le soluzioni proposte non è presente tale risultato. La risposta $d$ ci si avvicina molto ma manca la $i$ al numeratore. Concordate o mi sfugge qualche cosa? Il fatto che sia in $L^2(-\pi,+\pi)$ piuttosto che in $L^1(-\pi,+\pi)$ cambia qualcosa nel calcolo pratico?

[dissonance]

Hai sbagliato qualche conto. La funzione da sviluppare ha una simmetria: la trasformazione $x\mapsto -x$ la scambia con la sua coniugata. Quindi i suoi coefficienti devono essere reali.

[Blizz1]

Mmm... non riesco a trovare l'errore..

[dissonance]

Calcola per bene quell'integrale. L'errore non può che essere là.

[Blizz1]

Ok ho trovato. Confermo che la risposta esatta è la d. La i non mi compare. Come fai comunque a capire che la funzione ha una simmetria e quindi a fare il ragionamento che inizialmente hai proposto?

[dissonance]

Con la sostituzione $x=-x'$. SI vede subito che la funzione da espandere in serie di Fourier verifica \(f(x)=\overline{f(x')}\). Perciò il coefficiente \(c_n=\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\, dx\) verifica \(c_n=\overline{c_n}\), come puoi vedere con un cambio di variabile nell'integrale.

[Blizz1]

Ho capito grazie mille!