Esistono successioni limitate, infinite, non regolari?
Se esistono, potreste farmi un esempio?
So bene che esistono successioni limitate, finite, non regolari, come ad esempio $(-1)^(n+1)$.
Delle prime mi pare che se ne parli nella dimostrazione del teorema di Bolzano Weierstrass per una successione limitata.
Grazie.
So bene che esistono successioni limitate, finite, non regolari, come ad esempio $(-1)^(n+1)$.
Delle prime mi pare che se ne parli nella dimostrazione del teorema di Bolzano Weierstrass per una successione limitata.
Grazie.
Risposte
Dicesi successione una funzione il cui dominio è $NN$. Quindi un oggetto con finiti elementi non è una successione (in senso matematico... magari nel linguaggio comune lo è...).
La limitatezza è un concetto legato alla metrica. Un esempio di succesione limitata:
$(1/n)_(n in NN)$ con la metrica euclidea;
La limitatezza è un concetto legato alla metrica. Un esempio di succesione limitata:
$(1/n)_(n in NN)$ con la metrica euclidea;
ma (-1)^(n+1) ha codominio finito, però è una successione...a quanto dice il testo che sto studiando..
1/n è una funzione limitata, infinita e regolare...ti trovi?
1/n è una funzione limitata, infinita e regolare...ti trovi?
"IgnoranteDaSchifo":
ma (-1)^(n+1) ha codominio finito, però è una successione.
Certo. Il codominio può essere finito, ma la successione è formata da infiniti elementi:
$-1$,$1$,$-1$,$1$,$-1$,$1$...
"IgnoranteDaSchifo":
1/n è una funzione limitata, infinita e regolare...
Non conosco il significato del termine regolare.
Regolare significa che o converge o diverge.
Infinita per il nostro amico credo significhi che prenda infiniti valori diversi
Mentre il primo aggettivo è di uso comune e diffuso per il secondo non ho mai sentito usare questa nomenclatura, tant'è che non sono certo che voglia intendere questo.
Comunque se quello che vuole cercare è una successione limitata che prende infiniti valori e che non converge allora la risposta può essere: $a_n=sin(n)$
Infinita per il nostro amico credo significhi che prenda infiniti valori diversi
Mentre il primo aggettivo è di uso comune e diffuso per il secondo non ho mai sentito usare questa nomenclatura, tant'è che non sono certo che voglia intendere questo.
Comunque se quello che vuole cercare è una successione limitata che prende infiniti valori e che non converge allora la risposta può essere: $a_n=sin(n)$
"fabry1985mi":
Regolare significa che o converge o diverge.
Infinita per il nostro amico credo significhi che prenda infiniti valori diversi
Mentre il primo aggettivo è di uso comune e diffuso, per il secondo non ho mai sentito usare questa nomenclatura, tant'è che non sono certo che voglia intendere questo.
Comunque se quello che vuole cercare è una successione limitata che prende infiniti valori e che non converge allora la risposta può essere: $a_n=sin(n)$
"Dorian":
[quote="IgnoranteDaSchifo"]ma (-1)^(n+1) ha codominio finito, però è una successione.
Certo. Il codominio può essere finito, ma la successione è formata da infiniti elementi:
$-1$,$1$,$-1$,$1$,$-1$,$1$...[/quote]
Forse per successione "finita" intende successione ad immagine finita.
"Martino":
Forse per successione "finita" intende successione ad immagine finita.
Sicuramente... Però bisognerebbe spiegare le proprie notazioni, altrimenti si apre la via a molte interpretazioni...
Grazie per le risposte.
Esatto, con 'non regolare' intendo dire che non converge nè diverge, e 'infinito' era riferito al codominio, il quale assume quindi infiniti valori.
Il sin(n) comunque assume determinati valori che sono molteplici, ma cmq finiti, essendo periodica e definita in N.
Io mi chiedevo se esisteva una successione limitata il cui grafico, quindi, è formato da punti che assumono, al crescere di n, valori sempre diversi, proprio come 1/n, però non regolare come quest'ultima.
Esatto, con 'non regolare' intendo dire che non converge nè diverge, e 'infinito' era riferito al codominio, il quale assume quindi infiniti valori.
Il sin(n) comunque assume determinati valori che sono molteplici, ma cmq finiti, essendo periodica e definita in N.
Io mi chiedevo se esisteva una successione limitata il cui grafico, quindi, è formato da punti che assumono, al crescere di n, valori sempre diversi, proprio come 1/n, però non regolare come quest'ultima.
"IgnoranteDaSchifo":
Il sin(n) comunque assume determinati valori che sono molteplici, ma cmq finiti, essendo periodica e definita in N.
E qui ti sbagli!
(Proprio di recente ne abbiamo parlato, se trovo il link te lo posto). Comunque è facile rendersi conto che non è come dici tu. E' noto che $sin x=sin y$ se e solo se $x=y+2kpi$, oppure $x=y+kpi/2$, $k\inZZ$. Ora supponiamo che $sin n=sin m$ per $n, m\inNN$. Deve essere $n=m+2kpi$, oppure $n=m+kpi/2$ ma questo è possibile solo se $n=m$, dal momento che $2kpi$ e $kpi/2$ non sono interi quando $k!=0$. Quindi ${sinn}$ assume infiniti valori, tanti quanti i numeri interi.P.S.: https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#262536
Mi pare che possano esistere successioni come le vuoi tu, almeno, non conosco (o non ricordo) risultati che lo impediscano.
Una dovrebbe essere questa, potrei fare stupidissimi errori, quindi correggetemi se sbaglio:
vogliamo una successione a codominio infinito, limitato e che sia indeterminata (irregolare).
prendo $f:NN->[0,1]$ in modo che tutti i dispari vengano spediti in $[0,1/2)$ e tutti i pari in $(1/2,1]$. Inoltre, impongo che se a un certo dispari (risp.: pari) $2n+1$ viene associato $x$, al dispari (risp.: pari) successivo $2n+3$ venga associato $y>x$.
Ovviamente tutto quello che ho scritto non è una funzione esplicitamente definita, in quanto non specifico quale valore preciso viene assegnato ad ogni naturale, ma una ipotetica successione che abbia tale comportamento è del tipo richiesto.. Se c'è qualcosa che non quadra correggetemi:-)
Una dovrebbe essere questa, potrei fare stupidissimi errori, quindi correggetemi se sbaglio:
vogliamo una successione a codominio infinito, limitato e che sia indeterminata (irregolare).
prendo $f:NN->[0,1]$ in modo che tutti i dispari vengano spediti in $[0,1/2)$ e tutti i pari in $(1/2,1]$. Inoltre, impongo che se a un certo dispari (risp.: pari) $2n+1$ viene associato $x$, al dispari (risp.: pari) successivo $2n+3$ venga associato $y>x$.
Ovviamente tutto quello che ho scritto non è una funzione esplicitamente definita, in quanto non specifico quale valore preciso viene assegnato ad ogni naturale, ma una ipotetica successione che abbia tale comportamento è del tipo richiesto.. Se c'è qualcosa che non quadra correggetemi:-)
Grazie mille dissonance 
"dissonance":
[quote="IgnoranteDaSchifo"]
Il sin(n) comunque assume determinati valori che sono molteplici, ma cmq finiti, essendo periodica e definita in N.
E qui ti sbagli!
(Proprio di recente ne abbiamo parlato, se trovo il link te lo posto). Comunque è facile rendersi conto che non è come dici tu. E' noto che $sin x=sin y$ se e solo se $x=y+2kpi$, oppure $x=y+kpi/2$, $k\inZZ$. Ora supponiamo che $sin n=sin m$ per $n, m\inNN$. Deve essere $n=m+2kpi$, oppure $n=m+kpi/2$ ma questo è possibile solo se $n=m$, dal momento che $2kpi$ e $kpi/2$ non sono interi quando $k!=0$. Quindi ${sinn}$ assume infiniti valori, tanti quanti i numeri interi.P.S.: https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#262536[/quote]
A distanza di 1 anno......
mi è sorto un dubbio.... Ma il discorso che dissonance fa vale solo se n è in radianti....non dovrebbe valere pure per n in gradi?
Su $\sin n$ ci sono thread ancor piu' vecchi, ed emozionanti!
https://www.matematicamente.it/forum/dub ... 14298.html
https://www.matematicamente.it/forum/dub ... 14298.html
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo