Esistono massimi e minimi assoluti nel dominio specificato?
Data la forma differenziale:
$f(x,y)=xy-1/x+1/y$
Definita in $mathbb(R)^3-{xy=0}$
Mi viene chiesto se esistono massimi e minimi assoluti nel dominio specificato.
Il mio ragionamento, fatemi sapere cosa condividete, non ho le soluzioni.
Il dominio si potrebbe scrivere anche come $mathbb(R)^3-{y=0,x=0}$, quindi quando vado a provare le varie restrizioni non posso considerare $(x,0)$ e $(0,y)$ dato che non fanno parte del dominio giusto?
Per dimostrare che è sup/inf illimitata mi basta fare la seguente restrizione:
$f(x,1)=x-1/x+1$
$lim_(x -> -oo) x-1/x+1=-oo$
$lim_(x -> +oo) x-1/x+1=+oo$
Dato che ho trovato sia un limite che va a $+oo$ sia un limite che va a $-oo$ posso affermare che è superiormente e inferiormente illimitata.
$f(x,y)=xy-1/x+1/y$
Definita in $mathbb(R)^3-{xy=0}$
Mi viene chiesto se esistono massimi e minimi assoluti nel dominio specificato.
Il mio ragionamento, fatemi sapere cosa condividete, non ho le soluzioni.
Il dominio si potrebbe scrivere anche come $mathbb(R)^3-{y=0,x=0}$, quindi quando vado a provare le varie restrizioni non posso considerare $(x,0)$ e $(0,y)$ dato che non fanno parte del dominio giusto?
Per dimostrare che è sup/inf illimitata mi basta fare la seguente restrizione:
$f(x,1)=x-1/x+1$
$lim_(x -> -oo) x-1/x+1=-oo$
$lim_(x -> +oo) x-1/x+1=+oo$
Dato che ho trovato sia un limite che va a $+oo$ sia un limite che va a $-oo$ posso affermare che è superiormente e inferiormente illimitata.
Risposte
Ciao Luk_3D,
Tanto per cominciare questa non è una forma differenziale, ma una funzione di due variabili:
$z = f(x,y)=xy−1/x+1/y $
No. Il dominio della funzione $z = f(x,y) $ proposta è $D = {(x,y) \in \RR^2 : x \ne 0 ^^ y \ne 0} $
Sì, infatti la funzione proposta ha codominio $C = \RR $, poi mi risulta un massimo relativo nel punto $M(1, - 1) \in D $ e si ha $z_M = f(1, - 1) = - 3 $
"Luk_3D":
Data la forma differenziale:
$f(x,y)=xy−1/x+1/y $
Tanto per cominciare questa non è una forma differenziale, ma una funzione di due variabili:
$z = f(x,y)=xy−1/x+1/y $
"Luk_3D":
Definita in $\RR^3−{xy=0}$
No. Il dominio della funzione $z = f(x,y) $ proposta è $D = {(x,y) \in \RR^2 : x \ne 0 ^^ y \ne 0} $
"Luk_3D":
Dato che ho trovato sia un limite che va a $+\infty$ sia un limite che va a $−\infty $ posso affermare che è superiormente e inferiormente illimitata.
Sì, infatti la funzione proposta ha codominio $C = \RR $, poi mi risulta un massimo relativo nel punto $M(1, - 1) \in D $ e si ha $z_M = f(1, - 1) = - 3 $
Quindi tralasciando l'errore nella scrittura del dominio il resto del ragionamento è corretto?
E' una domanda stupida ma mi tolgo il dubbio, quando faccio queste restrizioni in $R^2$ a rigor di logica devo fare sempre il limite che va a $+-oo$ rispetto alla variabile $x$ giusto?
Dato che la funzione non esiste per $x=0$ e $y=0$ non posso fare le restrizioni $(x,0)$ e $(0,y)$ giusto?
E' una domanda stupida ma mi tolgo il dubbio, quando faccio queste restrizioni in $R^2$ a rigor di logica devo fare sempre il limite che va a $+-oo$ rispetto alla variabile $x$ giusto?
Dato che la funzione non esiste per $x=0$ e $y=0$ non posso fare le restrizioni $(x,0)$ e $(0,y)$ giusto?
[ot]Già ho notato che mischi senza ritegno forme differenziali, campi vettoriali e funzioni. Qui hai scritto "forma differenziale" ed era una funzione, altrove scrivi "campo vettoriale" ed era una forma differenziale. Stai calmo e pensa un po' di più al linguaggio e alla teoria, e meno alla tecnica. Ad un esame, un "priqueco" come questo, con un prof puntiglioso, ti costa caro.[/ot]
"dissonance":
[ot]Già ho notato che mischi senza ritegno forme differenziali, campi vettoriali e funzioni. Qui hai scritto "forma differenziale" ed era una funzione, altrove scrivi "campo vettoriale" ed era una forma differenziale. Stai calmo e pensa un po' di più al linguaggio e alla teoria, e meno alla tecnica. Ad un esame, un "priqueco" come questo, con un prof puntiglioso, ti costa caro.[/ot]
Hai perfettamente ragione, ho scoperto dopo la differenza, grazie del consiglio
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