Esisterà il limite?
Sia $f: R->R$ una funzione continua, derivabile con derivate prime continue e decrescente. Posso dire che il limite con x che va a più o meno infinito esiste sempre?
Risposte
Se non ricordo male, per l'esistenza del limite all'infinito basta la monotonia. Ora si tratta di dimostrare ciò (non mi suona difficilissimo).
"Martino":
Se non ricordo male, per l'esistenza del limite all'infinito basta la monotonia. Ora si tratta di dimostrare ciò (non mi suona difficilissimo).
Non vorrei fare il saputello, però secondo me la derivabilità serve a dimostrare il teorema... In quanto implica la continuita di $f(x)$... Correggetemi se sbaglio.
"Dorian":
[quote="Martino"]Se non ricordo male, per l'esistenza del limite all'infinito basta la monotonia. Ora si tratta di dimostrare ciò (non mi suona difficilissimo).
Non vorrei fare il saputello, però secondo me la derivabilità serve a dimostrare il teorema... In quanto implica la continuita di $f(x)$... Correggetemi se sbaglio.[/quote]
Sbaglio... La continuità stava già nelle ipotesi... Ho parlato per niente... Scusate
Per l'esistenza dei limiti basterebbe la monotonia di $f$ - non ho però capito se nel problema iniziale la mononia era
appannaggio di $f$ o di $f'$ (in questo secondo caso la domanda diventerebbe: se $f$ è convessa, posso dedurne
che ha limite a più e meno infinito ?)
appannaggio di $f$ o di $f'$ (in questo secondo caso la domanda diventerebbe: se $f$ è convessa, posso dedurne
che ha limite a più e meno infinito ?)
Strana come domanda, perché le successioni (quindi le funzioni in virtù del teorema ponte) sono sempre dotate di limite se monotone
Beh, secondo me la continuità non serve.
Se $f:RR to RR$ è una funzione monotona crescente, allora il limite a più infinito esiste.
Per mostrarlo ragiono così: supponiamo che il limite a più infinito non sia più infinito. Sia allora $K in RR$ l'estremo superiore di $f$. Mostriamo che $K$ è il limite della f a più infinito. Sia allora $epsilon>0$. Dobbiamo trovare $M in RR$ tale che quando $x>M$ abbiamo $|f(x)-K|
Naturalmente poi si generalizza questo argomento per mostrare che se f è monotona i limiti a più e a meno infinito esistono.
Se $f:RR to RR$ è una funzione monotona crescente, allora il limite a più infinito esiste.
Per mostrarlo ragiono così: supponiamo che il limite a più infinito non sia più infinito. Sia allora $K in RR$ l'estremo superiore di $f$. Mostriamo che $K$ è il limite della f a più infinito. Sia allora $epsilon>0$. Dobbiamo trovare $M in RR$ tale che quando $x>M$ abbiamo $|f(x)-K|
Naturalmente poi si generalizza questo argomento per mostrare che se f è monotona i limiti a più e a meno infinito esistono.
@zorn
non sono molto d'accordo sul tuo uso del teorema ponte...
ci sono alcune successioni (non monotone però) che hanno limite e però se le fai diventare funzioni diventano indeterminate...
non sono molto d'accordo sul tuo uso del teorema ponte...
ci sono alcune successioni (non monotone però) che hanno limite e però se le fai diventare funzioni diventano indeterminate...
Ripeto la domanda: nella formulazione
il termine decrescente è riferito a $f$ o a $f'$ ? (è vero che "decrescente" è messo al singolare ma siccome viene dopo ...)
Se è riferito a $f$ allora la risposta è che i limiti a più e meno infinto esistono (diversi se $f$ non è costante)
e per questo non servono nè la continuità nè tantomeno la derivabilità.
Se è riferito a $f'$ diventa una questione di funzioni convesse (che è comunque vera)
Sia $f:R→R$ una funzione continua, derivabile con derivate prime continue e decrescente.
il termine decrescente è riferito a $f$ o a $f'$ ? (è vero che "decrescente" è messo al singolare ma siccome viene dopo ...)
Se è riferito a $f$ allora la risposta è che i limiti a più e meno infinto esistono (diversi se $f$ non è costante)
e per questo non servono nè la continuità nè tantomeno la derivabilità.
Se è riferito a $f'$ diventa una questione di funzioni convesse (che è comunque vera)
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