Esistenza zeri campo vettoriale in $R^n$

[*panecasareccio]

Buiogiorno a tutti.

Vorrei gentilmente domandare se qualcuno di voi conosce teoremi per dimostrare l'esistenza degli zeri in un campo vettoriale.

Piu' precisamente, dovrei risolvere il seguente problema:


Sia $C(\mathbf{r})$ una funzione reale convessa definita su $R^n$ e sia dato il seguente campo vettoriale:

$\mathbf{n}(\mathbf{r}) = \frac {\nabla C(\mathbf{r}) }{| \nabla C(\mathbf{r}) |}$

Dimostrare che il campo vettoriale $mathbf{n}(\mathbf{r}) + mathbf{n}[\mathbf{r} + mathbf{n}(\mathbf{r})]$ ammette almeno uno zero, oppure trovare un controesempio.

(Graficamente, si tratta di trovare un segmento AB di lunghezza unitaria tale che ad entrambi gli estremi A e B il campo vettoriale $\mathbf{n}(\mathbf{r})$ sia parallelo ad AB).

Non avendo trovato controesempi, sarei tentato di ritenere che il teorema sia vero. Qualcuno di voi saprebbe indicarmi una via per dimostrarlo? Qualcuno di voi conosce qualche proprieta' del gradiente di funzioni convesse?



Grazie mille per l'aiuto, Panecasareccio.

[gugo82]

L'interpretazione geometrica che do io è un po' diversa, mi sa.

Il versore [tex]$n(r)$[/tex] individua, punto a punto, la direzione di massima pendenza sul grafico di [tex]$C(r)$[/tex]; graficamente, in generale, avrai una situazione del genere:
[asvg]xmin=0;xmax=2;ymin=0;ymax=2;
axes("");
dot([1,0]); text([1,0],"r",below);
dot([1,1]); text([1,1],"r+n(r)",right);
stroke="red"; marker="arrow"; line([1,0],[1,1]); text([1,0.5],"n(r)",left); line([1,1],[1.5,1.866]); text([1.3,1.25],"n(r+n(r))",left);[/asvg]
Geometricamente richiedere che esista uno zero [tex]$\tilde{r}$[/tex] per [tex]$n(n)+n(r+n(r))$[/tex] significa richiedere che le direzioni di massima pendenza in [tex]$\tilde{r}$[/tex] ed in [tex]$\tilde{r}+n(\tilde{r})$[/tex] siano opposte.

In generale la tua applicazione non ha zeri: ad esempio, se [tex]$C(r)$[/tex] è lineare del tipo [tex]$\langle a,r\rangle$[/tex] (qui [tex]$a\in \mathbb{R}\setminus \{ o\}$[/tex] è fissato e [tex]$\langle \cdot,\cdot \rangle$[/tex] è il prodotto scalare), allora [tex]$n(r)=\tfrac{1}{|a|}a$[/tex], ergo [tex]$n(r)+n(r+n(r))=\tfrac{2}{|a|}a \neq o$[/tex].

Ma nemmeno l'applicazione [tex]$C(x,y)=x-\ln y$[/tex], che è convessa, ha la funzione [tex]$n(x,y)+n\big( (x,y)+n(x+y)\big)$[/tex] dotata di zeri (se non ho sbagliato i conti).

[*panecasareccio]

oops!

Domando scusa, ho commesso alcuni errori nello scrivere il testo del problema. Correggo

1. La funzione $C(\mathbf{r})$ e' differenziabile quante volte serve e strettamente convessa, ovvero soddisfa strettamente la disuguaglianza

$C[\lambda \mathbf{r}_1 + (1-\lambda) \mathbf{r}_2] < \lambda C(\mathbf{r}_1) + \lambda C(\mathbf{r}_2)$

La funzione lineare e $C(x,y) = x - ln y$ sono convesse ma non strettamente. So gia' che per funzioni non strettamente convesse il teorema e' falso.



2. Il campo vettoriale e' il seguente, con un segno $(-)$ anziche' $(+)$ dentro parentesi quadre:

$\mathbf{n}(\mathbf{r}) + \mathbf{n}[\mathbf{r} - \mathbf{n}(\mathbf{r})]$



Desidererei gentilmente domandare il permesso di modificare il mio post originale e di eliminare i due successivi, al fine di semplificarne la consultazione.


Grazie mille per l'aiuto.
Mi scuso ancora,
Panecasareccio.

[gugo82]

Grazie per avermi fatto perdere tempo.
Avessi letto con attenzione l'avviso, ciò non sarebbe accaduto.

Ad ogni modo, ci penserò su.

[*panecasareccio]

Non che non avessi controllato, ma un errore e' scappato comunque...

domando umilmente scusa...