Esistenza-unicità soluzione equazione integrale Volterra

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Sul Kolmogorov-Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, nella dimostrazione al teorema di esistenza ed unicità della soluzione dell'equazione integrale di Volterra $f(x)=\lambda\int_a^x K(x,y)f(y)dy+\varphi(x)$ non riesco a capire qual è la ragione per cui appare il fattoriale quando si passa da\[|Af_1(x)-Af_2(x)|=\Bigg|\int_{a}^{x}K(x,y)(f_1(y)-f_2(y))dy\Bigg|\leq\lambda Mm(x-a)\]a \[|A^n f_1(x)-A^n f_2(x)|\leq\lambda^n M^n m \frac{(x-a)^n}{n!}\]Qualcuno ne comprende il motivo?
$\infty$ grazie a tutti!!!

EDIT: corretta svista di copiatura grazie a dissonance.

[dissonance]

Ti manca una potenza $n$ su $(x-a)$. Il fattoriale viene dall'aver integrato \((x-a)\) \(n\) volte. Il libro ti deriva la disuguaglianza nel caso \(n=2\), se capisci quel caso sei a cavallo.

[DavideGenova1]

Ho cercato le spiegazioni più contorte quando bastava che vedessi che\[|A^n f_1(x)-A^n f_2(x)|\leq|\lambda|\int_{0}^x |K(x,y)| |\lambda|^{n-1} M^{n-1}m\frac{(y-a)^{n-1}}{(n-1)!}dy\]\[\leq\int_{0}^x M^n |\lambda|^n m\frac{(y-a)^{n-1}}{(n-1)!}dy\]Grazie di cuore!!!