Esistenza sottospazio che non contenga un punto

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Sia $X$ uno spazio topologico lineare, naturalmente con operazioni lineari continue, e sia $x_0\in X,x_0\ne 0$. Si può garantire l'esistenza di un sottospazio chiuso che non contenga $x_0$?
Lo chiedo perché stavo cercando di provare a me stesso l'esistenza di un funzionale lineare continuo tale che \(f(x_0)\ne 0\) in ogni spazio topologico localmente convesso, cosa cui accenna il Kolmogorov-Fomin senza dimostrarla, ipotizzando questo fatto.
$\infty$ grazie a tutti!

[Sk_Anonymous]

Fammi del male fisico se dico cazzate, ma se \(\text{dim}(X) > 1 \), prendo \(x_1 \in X \setminus \text{span}\{x_0 \} \) e considero \(\text{span} \{x_1\}\), ricordando che "if \(Y\) is a topological vector space, then any finite dimensional linear subspace \(V \subset Y\) is closed." (cfr. qui, la prima che mi è capitata sotto mano).

[DavideGenova1]

Mi pare che in questa dimostrazione si assuma che $X$ sia di Hausdorff... questo asserto vale anche per spazi vettoriali con l'unica assunzione che le operazioni lineari siano continue? Se sì, conosci qualche dimostrazione o link a riguardo?
Mi batto il petto per non aver specificato che non intendevo $X$ di Hausdorff, altrimenti mi sarei accontentato anche di \(\{0\}\) come sottospazio chiuso.

Avevo pensato di controllare se qualcosa come \(\bigcap_{\alpha} V_{\alpha} \) dove i $V_{\alpha}\subset X$ sono tutte le varietà lineari che non contengono $x_0$, ma non riesco a dimostrare che tale varietà lineare sia chiusa e non ho idea se lo sia...
Grazie di cuore di tutto!!!

[DavideGenova1]

Senza ulteriori ipotesi sulla struttura topologica la topologia banale \(\{X,\emptyset\}\), compatibile ovviamente con la linearità delle operazioni lineari, è un controesempio a quel che cerco!