Esistenza periodo
"Sia $f:RR->RR$, $f$ si dice periodica se esiste $T$ tale che $f(x+T)=f(x)$ per ogni x in $RR$
Il più piccolo $T$ con questa proprietá si chiama periodo di $f$"
Come posso dimostrare che esiste un minimo sull'insieme $A$={$t_0$ | vale l'equazione sopra con $t_0$}?
Ho provato col lemma di zorn sull'insieme delle "frequenze" (cioè gli $1/t_0$ tali per cui vale l'equazione sopra) ma non riesco a maggiorare la catena se è infinita
Il libro che sto leggendo lo da per scontato, cosí come anche altri che avevo letto che trattavano questo argomento.
Il più piccolo $T$ con questa proprietá si chiama periodo di $f$"
Come posso dimostrare che esiste un minimo sull'insieme $A$={$t_0$ | vale l'equazione sopra con $t_0$}?
Ho provato col lemma di zorn sull'insieme delle "frequenze" (cioè gli $1/t_0$ tali per cui vale l'equazione sopra) ma non riesco a maggiorare la catena se è infinita
Il libro che sto leggendo lo da per scontato, cosí come anche altri che avevo letto che trattavano questo argomento.
Risposte
Manca qualche ipotesi: innanzitutto bisogna considerare solo i periodi positivi, altrimenti se ce n'è uno non nullo ci sono anche il suo opposto e tutti i suoi "multipli", e allora il minimo non può esistere... detto questo, serve qualcosa come "$f$ continua e non costante", perché altrimenti la funzione di Dirichlet ($0$ sugli irrazionali e $1$ sui razionali) è un controesempio; d'altra parte per le costanti si ha banalmente $A=RR^+$.
Si il periodo positivo l'ho dimenticato, e anche l'essere non costante (d'altronde ho postato alle 4 di notte).
La continuitá non pensavo servisse, e in effetti il tuo controesempio è valido dato che ogni numero razionale soddisfa la condizione.
Supponendo che $f$ sia continua,sicuramente $delta:=Inf(A)!=0$ (Altrimenti avrei $f$ localmente costante per ogni $x$).
E ora con questa informazione su $delta$ posso maggiorare la catena e quindi applicare il lemma di zorn come volevo fare prima. O altrimenti per assurdo se l'inf non fosse min potrei prendere 2 valori di $A$ distinti abbastanza vicini a $delta$ e costruire un elemento di $A$ minore dell'inf, e quindi necessariamente $min(A)=Inf(A)$ (sarebbe da formalizzare ma dovrebbe andare)
La continuitá non pensavo servisse, e in effetti il tuo controesempio è valido dato che ogni numero razionale soddisfa la condizione.
Supponendo che $f$ sia continua,sicuramente $delta:=Inf(A)!=0$ (Altrimenti avrei $f$ localmente costante per ogni $x$).
E ora con questa informazione su $delta$ posso maggiorare la catena e quindi applicare il lemma di zorn come volevo fare prima. O altrimenti per assurdo se l'inf non fosse min potrei prendere 2 valori di $A$ distinti abbastanza vicini a $delta$ e costruire un elemento di $A$ minore dell'inf, e quindi necessariamente $min(A)=Inf(A)$ (sarebbe da formalizzare ma dovrebbe andare)
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