Esistenza max o min assoluto?
Vorrei dimostrare la seguente proposizione:
Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) una funzione continua tale che \(\displaystyle lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)=lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=l\in\mathbb{R}\). Allora la funzione ha massimo o minimo assoluto.
Ora, la prima considerazione che posso fare è che, presi \(\displaystyle a, b \in \mathbb{R} \) allora, essendo \(\displaystyle f \) continua, per il t. di Weierstrass, \(\displaystyle f \) ammette max e min locale nell'intervallo chiuso \(\displaystyle [a,b] \).
Se almeno uno tra il punto di massimo e il punto di minimo sta all'interno del detto intervallo, non c'è problema, ma se i punti di massimo e minimo sono agli estremi dell'intervallo non è detto che lo siano anche per tutta la funzione... e qui come proseguo?
Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) una funzione continua tale che \(\displaystyle lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)=lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=l\in\mathbb{R}\). Allora la funzione ha massimo o minimo assoluto.
Ora, la prima considerazione che posso fare è che, presi \(\displaystyle a, b \in \mathbb{R} \) allora, essendo \(\displaystyle f \) continua, per il t. di Weierstrass, \(\displaystyle f \) ammette max e min locale nell'intervallo chiuso \(\displaystyle [a,b] \).
Se almeno uno tra il punto di massimo e il punto di minimo sta all'interno del detto intervallo, non c'è problema, ma se i punti di massimo e minimo sono agli estremi dell'intervallo non è detto che lo siano anche per tutta la funzione... e qui come proseguo?
Risposte
Salve!
Ricordiamo la definizione di massimo assoluto per $f$ su $\RR$: $x_0\in \RR$ è di massimo assoluto se $\forall x\in \RR$ si ha $f(x)\le f(x_0)$.
Supponiamo che la funzione non ammetta massimo assoluto (per il minimo vale un discorso analogo "al contrario"
): questo vuol dire che $\forall x_0 \in \RR, \exists x_1\in \RR$ tale che $f(x_1)>f(x_0)$.
Fino ad ora ho negato l'ipotesi.
Andiamo avanti!
Questo vuol dire che allora posso costruire una successione di valori $f(x_0)
- diverge a $+\infty$ perché se così non fosse tenderebbe ad un valore che sarebbe il massimo per $f$ (se tenderebbe a $f(\bar(x))\in \RR$ per come è stata costruita avremmo che $f(\bar(x))\ge f(x)$ per qualsiasi $x$ quindi sarebbe il massimo e ciò non è possibile per l'ipotesi fatta).
Deduciamo, dunque, che la successione è infinita e per $n->+\infty$ diverge a $+\infty$ il ché significa che in $\RR$ la funzione avrebbe un punto in cui tende a $+\infty$ - dato che non può accadere ciò agli estremi poiché specifichi che $\lim_(x-> \pm \infty)f(x)=l\in \RR$ - e cioè una discontinuità.
... assurdo, dato che per ipotesi è continua.
...
[size=80]Uhm... eppure sono sicuro di aver sbagliato qualcosa, me lo sento!
[/size]
Ricordiamo la definizione di massimo assoluto per $f$ su $\RR$: $x_0\in \RR$ è di massimo assoluto se $\forall x\in \RR$ si ha $f(x)\le f(x_0)$.
Supponiamo che la funzione non ammetta massimo assoluto (per il minimo vale un discorso analogo "al contrario"
): questo vuol dire che $\forall x_0 \in \RR, \exists x_1\in \RR$ tale che $f(x_1)>f(x_0)$.Fino ad ora ho negato l'ipotesi.
Andiamo avanti!
Questo vuol dire che allora posso costruire una successione di valori $f(x_0)
- diverge a $+\infty$ perché se così non fosse tenderebbe ad un valore che sarebbe il massimo per $f$ (se tenderebbe a $f(\bar(x))\in \RR$ per come è stata costruita avremmo che $f(\bar(x))\ge f(x)$ per qualsiasi $x$ quindi sarebbe il massimo e ciò non è possibile per l'ipotesi fatta).
Deduciamo, dunque, che la successione è infinita e per $n->+\infty$ diverge a $+\infty$ il ché significa che in $\RR$ la funzione avrebbe un punto in cui tende a $+\infty$ - dato che non può accadere ciò agli estremi poiché specifichi che $\lim_(x-> \pm \infty)f(x)=l\in \RR$ - e cioè una discontinuità.
... assurdo, dato che per ipotesi è continua.
...
[size=80]Uhm... eppure sono sicuro di aver sbagliato qualcosa, me lo sento!
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mi sembra che fili abbastanza, grazie 
@Zero87:
Temo che ci sia qualcosa che non va nella tua dimostrazione perché non hai usato l'ipotesi che i limiti sono uguali (tra l'altro, ti faccio notare che la negazione della tesi non è quella che hai scritto, quindi secondo me hai dimostrato proprio un'altra cosa). D'altra parte, $x \mapsto arctan x$ è un controesempio riguardo al fatto che quell'ipotesi è necessaria (i limiti sono finiti ma diversi e la funzione non ha né max né min assoluto).
@elisa:
Se ci pensi un attimo, vedi che si tratta di una versione generalizzata di Rolle. Prova a fare una ricerca sul forum, se n'è parlato diverse volte; puoi anche confrontare le diverse ipotesi di regolarità che si possono assumere. Ad ogni modo, un'idea che mi viene in mente ora è la seguente (mi raccomando controllala! ): wlog, poniamo $l=0$ e sia $f$ non identicamente nulla, i.e. esiste $x_0$ tale che $f(x_0)>0$ (se è negativo fa lo stesso). Fissato $\varepsilon \in (0, f(x_0)]$, per definizione di limite esiste un $K>0$ tale che
\[
\vert x \vert > K \Rightarrow \vert f(x) \vert <\varepsilon
\]
Prendi l'inf di questi $K$ (inf che esiste senz'altro finito se $f$ non è identicamente nulla e che continuo a chiamare per semplicità $K$) e considera il compatto $[-K,K]$ su cui $f$ ammette max e min per Weierstrass, siano essi $M$ e $m$. Ora sei d'accordo con me che se dimostri che $M>\varepsilon$ oppure $m<-\varepsilon$ hai finito? Per assurdo... e ciò contraddice il fatto che...
Un disegnino ti aiuterà senz'altro. Prova un po' e facci sapere.
EDIT: ricordavo che se n'era già parlato: click.
Temo che ci sia qualcosa che non va nella tua dimostrazione perché non hai usato l'ipotesi che i limiti sono uguali (tra l'altro, ti faccio notare che la negazione della tesi non è quella che hai scritto, quindi secondo me hai dimostrato proprio un'altra cosa). D'altra parte, $x \mapsto arctan x$ è un controesempio riguardo al fatto che quell'ipotesi è necessaria (i limiti sono finiti ma diversi e la funzione non ha né max né min assoluto).
@elisa:
Se ci pensi un attimo, vedi che si tratta di una versione generalizzata di Rolle. Prova a fare una ricerca sul forum, se n'è parlato diverse volte; puoi anche confrontare le diverse ipotesi di regolarità che si possono assumere. Ad ogni modo, un'idea che mi viene in mente ora è la seguente (mi raccomando controllala!
): wlog, poniamo $l=0$ e sia $f$ non identicamente nulla, i.e. esiste $x_0$ tale che $f(x_0)>0$ (se è negativo fa lo stesso). Fissato $\varepsilon \in (0, f(x_0)]$, per definizione di limite esiste un $K>0$ tale che \[
\vert x \vert > K \Rightarrow \vert f(x) \vert <\varepsilon
\]
Prendi l'inf di questi $K$ (inf che esiste senz'altro finito se $f$ non è identicamente nulla e che continuo a chiamare per semplicità $K$) e considera il compatto $[-K,K]$ su cui $f$ ammette max e min per Weierstrass, siano essi $M$ e $m$. Ora sei d'accordo con me che se dimostri che $M>\varepsilon$ oppure $m<-\varepsilon$ hai finito? Per assurdo... e ciò contraddice il fatto che...
Un disegnino ti aiuterà senz'altro. Prova un po' e facci sapere.
EDIT: ricordavo che se n'era già parlato: click.
"Paolo90":
@Zero87:
Temo che ci sia qualcosa che non va nella tua dimostrazione perché non hai usato l'ipotesi che i limiti sono uguali (tra l'altro, ti faccio notare che la negazione della tesi non è quella che hai scritto, quindi secondo me hai dimostrato proprio un'altra cosa). D'altra parte, $x \mapsto arctan x$ è un controesempio riguardo al fatto che quell'ipotesi è necessaria (i limiti sono finiti ma diversi e la funzione non ha né max né min assoluto).
Sapevo infatti che c'era qualcosa che non mi riportava: non sono molto ferrato sul ragionamento teorico, ma per fortuna m'hai ripreso.
sì! se per assurdo \(\displaystyle M<\varepsilon \) allora \(\displaystyle M \) tale dovrebbe stare esternamente al compatto, ma abbiamo supposto che massimo e minimo stiano dentro al compatto!
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