Esistenza limiti e differenziabilità
Scrivo due esercizi di cui vorrei sapere la correttezza di ragionamento o meno:
1) Calcola, se esiste, il seguente limite: $ lim_((x,y) -> (0,0))(cos(xy)-1)/x $
Considero la restrizione della funzione alla curva $ gamma (x)=(x,(1)/x) $ .
Ne segue che $ f:=gamma (x)=(cos(x*(1)/x)-1)/x=(cos(1)-1)/x=(-1)/x $
Siccome x può tendere a 0 sia destra che da sinistra ho un caso in cui il limite tende a $ +oo $ e un altro caso in cui il limite tende a $ -oo $: pertanto il limite non esiste.
2) Dimostra la differenziabilità della funzione $ f(x,y,z)=root()((x-1)yz) $ .
Per la condizione sufficiente per la differenziabilità, una funzione è differenziabile se è continua nel suo insieme di definizione e ammette derivate parziali prime continue nel medesimo insieme.
L'insieme di definizione è $ (x,y,z)in R^3| (x-1)yz>= 0 $ , da cui $ D=[0,oo ) $ . Essendo composta da funzioni elementari, la funzione è sicuramente continua nel suo insieme.
Inoltre $ grad f(x,y,z)=[ (yz)/(2root()((x-1)yz )),((x-1)z)/(2root()((x-1)yz ) ),( (x-1)y)/(2root()((x-1)yz ) ) ] $ . Le derivate parziali sono definite nel medesimo intervallo di f, ed essendo composte da funzioni elementari sono anch'esse continue in D. Pertanto la funzione è differenziabile.
1) Calcola, se esiste, il seguente limite: $ lim_((x,y) -> (0,0))(cos(xy)-1)/x $
Considero la restrizione della funzione alla curva $ gamma (x)=(x,(1)/x) $ .
Ne segue che $ f:=gamma (x)=(cos(x*(1)/x)-1)/x=(cos(1)-1)/x=(-1)/x $
Siccome x può tendere a 0 sia destra che da sinistra ho un caso in cui il limite tende a $ +oo $ e un altro caso in cui il limite tende a $ -oo $: pertanto il limite non esiste.
2) Dimostra la differenziabilità della funzione $ f(x,y,z)=root()((x-1)yz) $ .
Per la condizione sufficiente per la differenziabilità, una funzione è differenziabile se è continua nel suo insieme di definizione e ammette derivate parziali prime continue nel medesimo insieme.
L'insieme di definizione è $ (x,y,z)in R^3| (x-1)yz>= 0 $ , da cui $ D=[0,oo ) $ . Essendo composta da funzioni elementari, la funzione è sicuramente continua nel suo insieme.
Inoltre $ grad f(x,y,z)=[ (yz)/(2root()((x-1)yz )),((x-1)z)/(2root()((x-1)yz ) ),( (x-1)y)/(2root()((x-1)yz ) ) ] $ . Le derivate parziali sono definite nel medesimo intervallo di f, ed essendo composte da funzioni elementari sono anch'esse continue in D. Pertanto la funzione è differenziabile.
Risposte
nessuno può aiutarmi? l'esame si avvicina e sono (in parte) nelle vostre mani 
Per quanto riguarda il primo limite, non ci siamo: infatti, la curva $\gamma$ non si avvicina a \((0,0)\) quando \(x\to 0\), quindi non si può usare per analizzare il limite in questione.
Per la seconda funzione, il dominio è sbagliatissimo.
Inoltre, ricorda che la funzione radice è derivabile (come funzione di una sola variabile reale) quando il radicando è $>0$.
Per la seconda funzione, il dominio è sbagliatissimo.
Inoltre, ricorda che la funzione radice è derivabile (come funzione di una sola variabile reale) quando il radicando è $>0$.
Ottimo. Eufemisticamente parlando ovviamente.
Per il limite giustamente $ 1/x $ non va a 0 quando $ x->0 $. Ciononostante non so dove mettere le mani: ho provato restringendo ad $ y=mx $ , ad $ y=x^n $ ma niente da fare, continua a venire forma indeterminata che con de l'hopital diventa puntualmente 0. Ho provato mediante coordinate polari ma (a meno di errori) non si può dire nulla sull'esistenza o meno del limite dato che continua a dipendere da teta. Mancherebbe il teorema dei carabinieri ma ahimè, nonostante conosca la teoria, non so applicarlo.
Per il dominio buio pesto.
Per il limite giustamente $ 1/x $ non va a 0 quando $ x->0 $. Ciononostante non so dove mettere le mani: ho provato restringendo ad $ y=mx $ , ad $ y=x^n $ ma niente da fare, continua a venire forma indeterminata che con de l'hopital diventa puntualmente 0. Ho provato mediante coordinate polari ma (a meno di errori) non si può dire nulla sull'esistenza o meno del limite dato che continua a dipendere da teta. Mancherebbe il teorema dei carabinieri ma ahimè, nonostante conosca la teoria, non so applicarlo.
Per il dominio buio pesto.
E' da stamattina che provo a rifarlo e l'unica soluzione alla quale sono arrivato è che il limite esiste ed è 0:
$ lim_((x,y) -> (0,0))(cos(xy)-1)/x=(cos(x*mx)-1)/x=(cos(mx^2)-1)/x $
applico de l'hopital:
$ (-2xmsen(mx^2))/1=0 $
A voi umiliarmi
$ lim_((x,y) -> (0,0))(cos(xy)-1)/x=(cos(x*mx)-1)/x=(cos(mx^2)-1)/x $
applico de l'hopital:
$ (-2xmsen(mx^2))/1=0 $
A voi umiliarmi
Beh, infatti non può venirti altrimenti, perché quel limite vale proprio $0$.
Per provarlo, nota che:
\[
1- \cos t \leq \frac{1}{2}\ t^2
\]
per ogni $t\in \RR$ (questa è una disuguaglianza che si prova con metodi di Analisi I[nota]Ad esempio, dato che \(\cos t \leq 1\) per ogni $t$, integrando tra $0$ e $x\ge 0$ hai \(\sin x\leq x\); da \(\sin t \leq t\) valida per $t\ge 0$ integrando tra $0$ ed $x\ge 0$ trai \(1-\cos x \leq \frac{1}{2} x^2\); inoltre, quest'ultima disuguaglianza vale anche per $x<0$.[/nota]) quindi hai:
\[
\left|\frac{\cos xy - 1}{x} - 0\right| = \frac{1-\cos xy}{|x|} \leq \frac{1}{2}\ \frac{(xy)^2}{|x|}\leq \frac{1}{2}\ |x| y^2
\]
per $x!=0$ e ciò, per il Teorema dei Carabinieri, ti dice che:
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\cos xy - 1}{x} = 0\; .
\]
Per provarlo, nota che:
\[
1- \cos t \leq \frac{1}{2}\ t^2
\]
per ogni $t\in \RR$ (questa è una disuguaglianza che si prova con metodi di Analisi I[nota]Ad esempio, dato che \(\cos t \leq 1\) per ogni $t$, integrando tra $0$ e $x\ge 0$ hai \(\sin x\leq x\); da \(\sin t \leq t\) valida per $t\ge 0$ integrando tra $0$ ed $x\ge 0$ trai \(1-\cos x \leq \frac{1}{2} x^2\); inoltre, quest'ultima disuguaglianza vale anche per $x<0$.[/nota]) quindi hai:
\[
\left|\frac{\cos xy - 1}{x} - 0\right| = \frac{1-\cos xy}{|x|} \leq \frac{1}{2}\ \frac{(xy)^2}{|x|}\leq \frac{1}{2}\ |x| y^2
\]
per $x!=0$ e ciò, per il Teorema dei Carabinieri, ti dice che:
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\cos xy - 1}{x} = 0\; .
\]
Ti ringrazio della risposta, a dir poco illuminante! Vedrò di ricordarmi la disuguaglianza $ 1-cos(x)<= (1)/2x^2 $ allora, che a quanto pare si mostra più di una volta risolutiva.
In ogni caso come sei riuscito a stabilire che $ 1/2(xy)^2/|x|<= 1/2|x|y^2 $ ? C'è un "metodo generale" da usare per calcolare maggioranti e/o minoranti funzioni?
In ogni caso come sei riuscito a stabilire che $ 1/2(xy)^2/|x|<= 1/2|x|y^2 $ ? C'è un "metodo generale" da usare per calcolare maggioranti e/o minoranti funzioni?
Ritiro fuori questo mio post perché cercando sul forum ho trovato questo:
"In generale si cercano 2 funzioni, una maggiorante e una minorante, che abbiano lo stesso limite. Ad esempio il massimo valore di $cos^2x$ è $1$ e il minimo è $0$, allora $3^x+0<=3^x+cos^2x<=3^x+1$. Di solito il teorema funziona bene con le funzioni goniometriche delle quali è facile trovare il massimo e il minimo e, di conseguenza, costruire funzioni maggioranti e minoranti che abbiano lo stesso limite."
Tutto giusto direi, se non fosse che dal punto di vista pratico non riesco nemmeno io capire come costruire queste funzioni (a meno ovviamente di casi particolari, vedi $cosx<=1$...)
"In generale si cercano 2 funzioni, una maggiorante e una minorante, che abbiano lo stesso limite. Ad esempio il massimo valore di $cos^2x$ è $1$ e il minimo è $0$, allora $3^x+0<=3^x+cos^2x<=3^x+1$. Di solito il teorema funziona bene con le funzioni goniometriche delle quali è facile trovare il massimo e il minimo e, di conseguenza, costruire funzioni maggioranti e minoranti che abbiano lo stesso limite."
Tutto giusto direi, se non fosse che dal punto di vista pratico non riesco nemmeno io capire come costruire queste funzioni (a meno ovviamente di casi particolari, vedi $cosx<=1$...)
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