Esistenza limite $ lim n^(2a)[e^((-1)^n/n^a)-1] $ al variare di a, e calcolarlo qualora esista

[marcodal97]

Salve a tutti, ho trovato questo limite di successione nelle prove d'esame del mio corso e non so come svolgerlo, qualcuno può darmi una mano?

[Anacleto13]

Dovrebbe essere così:

$ lim_(ntooo) n^(2a)[e^((-1)^n/n^a)-1] $

$e^((-1)^n/n^a)-1 ~ frac{(-1)^n}{n^alpha}$

$ lim_(ntooo) n^(alpha)(-1)^n $

ora se $alpha<0$ il limite vale 0 (successione infinitesima per una limitata vale zero)

se $alpha>=0$ il limite non esiste

[marcodal97]

"Anacleto13":Dovrebbe essere così:

$ lim_(ntooo) n^(2a)[e^((-1)^n/n^a)-1] $

$e^((-1)^n/n^a)-1 ~ frac{(-1)^n}{n^alpha}$

$ lim_(ntooo) n^(alpha)(-1)^n $

ora se $alpha<0$ il limite vale 0 (successione infinitesima per una limitata vale zero)

se $alpha>=0$ il limite non esiste

Grazie della risposta,
Io sono arrivato alla fine ma al momento di fare la discussione ho avuto dei dubbi riguardo (-1)^n.
$ (-1)^n $ è oscillante o è una forma indeterminata del tipo $ 1^infty $?

Inoltre, nel caso di alfa>0 avrei $ n^infty * (-1)^infty $. Da dove si capisce che il limite non esiste?
Mentre nel caso di alfa = 0 avrei $ infty^0 * (-1)^infty $ che è una forma indeterminata. Da dove dico che non esiste?
Il caso di alfa < 0 mi è chiaro invece

[Anacleto13]

No perché se $alpha = 0 rArr n=1$ quindi il limite continua ad oscillare tra 1 e -1

mentre per il caso $alpha>0$ non può esistere una soluzione reale..

[marcodal97]

"Anacleto13":No perché se $alpha = 0 rArr n=1$ quindi il limite continua ad oscillare tra 1 e -1

mentre per il caso $alpha>0$ non può esistere una soluzione reale..

Ok grazie ho compreso tutto perfettamente, ho solo l'ultimo dubbio:
Il prodotto di una funzione infinita per una limitata cosa dà? Cioè come devo interpretarlo? Si ottiene una funzione che continua a oscillare all'infinito e quindi non esiste il limite?

[Weierstress]

"marcodal97":Il prodotto di una funzione infinita per una limitata cosa dà?

Try to make an educated guess

[marcodal97]

"Weierstress":[quote="marcodal97"]Il prodotto di una funzione infinita per una limitata cosa dà?

Try to make an educated guess [/quote]

Direi un infinito per $ x-> infty $