Esistenza limite con parametro

[gvhgjgk]

Ciao Ragazzi,
sto impazzendo alla ricerca di una soluzione a questo dilemma:

Limite x,y in 0,0 ; per quali valori di Lambda il limite esiste ed è finito?
[1-cos(x^3 y^(L-1))]/[x^2+y^2]


Pensavo di utilizzare le coordinate polari, ma con il parametro come mi comporto?
Avreste la pazienza di postarmi i passaggi?
grazie mille
Al

[Frink1]

Prova a ricordare lo sviluppo asintotico del coseno, da lì è in discesa... E direi che è un'ottima scelta passare in polari, dato che hai l'uniforme convergenza sempre.

[gvhgjgk]

"Frink":Prova a ricordare lo sviluppo asintotico del coseno, da lì è in discesa... E direi che è un'ottima scelta passare in polari, dato che hai l'uniforme convergenza sempre.

un po criptico.. diciamo che mi verrebbe in mente di sostituire il cos(x) con un polinomio di taylor, ma come?

cos(x) == 1-x^2/2 ?

[1-cos(x^3 y^(L-1))]/[x^2+y^2]
diventa
[1-1(x^3 y^(L-1))]^2 /2[x^2+y^2]

può essere una via e poi applico le coordinate polari?

[Frink1]

"sensei":
un po criptico.. diciamo che mi verrebbe in mente di sostituire il cos(x) con un polinomio di taylor, ma come?

Non ti do la soluzione completa, altrimenti non si impara niente...

Il limite notevole a cui mi riferivo era proprio quello, ma considerata la forma in cui si presenta puoi scrivere

\[
\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{1-\cos{x^3y^{L-1}}}{x^2+y^2}=
\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{\frac{1}{2}x^6y^{2L-2}}{x^2+y^2}=
\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{x^6y^{2(L-1)}}{2(x^2+y^2)}= \dots
\]

Passando ora in coordinate polari riesci a determinare il limite al variare del solo parametro $L$.

Ciao!

[gvhgjgk]

\[ \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{1-\cos{x^3y^{L-1}}}{(x^2+y^2)^L}= \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{\frac{1}{2}x^6y^{2L-2}}{(x^2+y^2)^L}= \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{x^6y^{2(L-1)}}{2(x^2+y^2)^L}= \]


\[\lim_{(\rho)\rightarrow(0)} \frac{\rho^6 cos^6\theta \rho^{2L-2} sen^{2L-2}\theta}{2(\rho^2 cos^2\theta+\rho^2sen^2\theta)^L}=\]

\[\lim_{(\rho)\rightarrow(0)} \frac{\rho^6 \rho^{2L-2} |cos^6\theta sen^{2L-2}\theta|}{2 \rho^{2L}( |cos^2\theta+sen^2\theta|)^L}=\]

\[\lim_{(\rho)\rightarrow(0)} \frac{\rho^6 \rho^{2L-2} |cos^6\theta sen^{2L-2}\theta|}{2 \rho^{2L}( |1|)^L}=\]

\[\lim_{(\rho)\rightarrow(0)} \frac{\rho^6 \rho^{2L-2} |cos^6\theta sen^{2L-2}\theta|}{2 \rho^{2L}}=\]

\[\lim_{(\rho)\rightarrow(0)} \frac{\rho^{2L+4} |cos^6\theta sen^{2L-2}\theta|}{2 \rho^{2L}}=\]

.. ma per \[\rho\rightarrow(0)\] il limite é una forma indeterminata di tipo 0/0, se cosi fosse che faccio uso Hopital?

[Frink1]

Ma che 0/0?


\[
\lim_{(\rho)\rightarrow(0)} \frac{\rho^{\lambda+4} |\cos^6\theta \sin^{\lambda-2}\theta|}{2 \rho^{2\lambda}}=
\lim_{\rho\rightarrow0} \frac{1}{2}\rho^{\lambda+4-2\lambda}*|\cos^6(\theta)\sin^{\lambda-2}(\theta)|=
\lim_{\rho\rightarrow0} \frac{1}{2}\rho^{4-\lambda}|\cos^6(\theta)\sin^{\lambda-2}(\theta)|
\]

Adesso non hai più nessuna forma indeterminata (nemmeno prima, in effetti). Cosa succede a questa roba al variare di $\lambda \in \mathbb{R}$?

[gvhgjgk]

Beh si in effetti.. Quindi la soluzione è che tende a zero per ogni lamda..
Ti ringrazio per l'aiuto e spero lo sia per i posteri.. Non ci sono molti esempi in rete di questo tipo

[Frink1]

"sensei":Beh si in effetti.. Quindi la soluzione è che tende a zero per ogni lamda...

Mmmm non direi... Per $\lambda=6$ ad esempio, hai

\[
\lim_{\rho\rightarrow0} \frac{1}{2}\rho^{4-\lambda}|\cos^6(\theta)\sin^{\lambda-2}(\theta)|=
\lim_{\rho\rightarrow0} \frac{1}{2}\rho^{-2}|\cos^6(\theta)\sin^{4}(\theta)|=
\lim_{\rho\rightarrow0} \frac{|\cos^6(\theta)\sin^{4}(\theta)|}{2\rho^{2}}
\]

che fa tutt'altro che tendere a $0$...