Esistenza integrale improprio in due variabili
Buonasera ragazzi =) avrei bisogno di un aiuto a capire se sbaglio e dove sbaglio nello svolgimento di questo esercizio
Sia [tex]S={(x,y) \in \mathbb{R} : x^2+y^2 \ge 1}[/tex] si dica se esiste e d eventualmente si calcoli il seguente integrale improprio
[tex]\iint_S \frac{\log(x^2+y^2)}{x^2+y^2}[/tex]
Quando mi trovo di fronte un integrale improprio di due variabili e mi si chiede l'esistenza, devo prima verificare che è continua f(x,y), e poi maggiorarla con una funzione tale che
[tex]|f(x,y)| \le \frac{M}{r^{\alpha}} \quad \alpha > 2[/tex]
Ci sono altri modi per verificare l'esistenza? Cioè se non riuscissi a maggiorare la funzione in modo da evidenziare che
[tex]|f(x,y)| \le \frac{M}{r^{\alpha}}[/tex]
?
Sia [tex]S={(x,y) \in \mathbb{R} : x^2+y^2 \ge 1}[/tex] si dica se esiste e d eventualmente si calcoli il seguente integrale improprio
[tex]\iint_S \frac{\log(x^2+y^2)}{x^2+y^2}[/tex]
Quando mi trovo di fronte un integrale improprio di due variabili e mi si chiede l'esistenza, devo prima verificare che è continua f(x,y), e poi maggiorarla con una funzione tale che
[tex]|f(x,y)| \le \frac{M}{r^{\alpha}} \quad \alpha > 2[/tex]
Ci sono altri modi per verificare l'esistenza? Cioè se non riuscissi a maggiorare la funzione in modo da evidenziare che
[tex]|f(x,y)| \le \frac{M}{r^{\alpha}}[/tex]
?
Risposte
Io farei una trasformazione di coordinate in polari: l'integrale diventa
$\int_0^{2\pi}\int_1^\infty 1/\rho\ \log\rho^2\ d\rho\ d\theta=4\pi\int_1^\infty\frac{\log\rho}{\rho}\ d\rho$
e quello che rimane si può "studiare" come un integrale improprio in una variabile. (ovviamente, prima stabilisci se esiste, poi calcoli esplicitamente quell'integrale in $\rho$).
$\int_0^{2\pi}\int_1^\infty 1/\rho\ \log\rho^2\ d\rho\ d\theta=4\pi\int_1^\infty\frac{\log\rho}{\rho}\ d\rho$
e quello che rimane si può "studiare" come un integrale improprio in una variabile. (ovviamente, prima stabilisci se esiste, poi calcoli esplicitamente quell'integrale in $\rho$).
Per stabilire se esiste potrei fare riferimento alla seguente approssimazione:
$$\frac{log(1+(\rho -1))}{\rho} \approx \frac{\rho - 1}{ \rho}$$
Comunque facendo riferimento all'integrale notevole
$$\frac{1}{|\rho||log|\rho||^{-1}}$$
concludo che l'integrale diverge esatto?
$$\frac{log(1+(\rho -1))}{\rho} \approx \frac{\rho - 1}{ \rho}$$
Comunque facendo riferimento all'integrale notevole
$$\frac{1}{|\rho||log|\rho||^{-1}}$$
concludo che l'integrale diverge esatto?
"Nick_93":
Per stabilire se esiste potrei fare riferimento alla seguente approssimazione:
$$\frac{log(1+(\rho -1))}{\rho} \approx \frac{\rho - 1}{ \rho}$$
Comunque facendo riferimento all'integrale notevole
$$\frac{1}{|\rho||log|\rho||^{-1}}$$
concludo che l'integrale diverge esatto?
Quell'approssimazione vale per $\rho\to 1$, cosa te ne fai? Tu vuoi ragionare su $\rho\to+\infty$. Anche sulla seconda non mi convince: come integreresti quella roba lì? C'è un ragionamento molto più semplice da fare...
Facendo riferimento allintegrale notevole rispondo alla domanda se la funzione e integrabile o meno o sbaglio?
Dopo se esiste trovo l integrale. Ma in questo caso diverge come mi conferma il calcolo seguente
$\lim_{\rho \to \infty} \int_{1}^{\rho} \frac{log \rho}{\rho} \, d\rho=[\frac{(log \rho)^2}{2}]=\infty$
dove sbaglio?
Dopo se esiste trovo l integrale. Ma in questo caso diverge come mi conferma il calcolo seguente
$\lim_{\rho \to \infty} \int_{1}^{\rho} \frac{log \rho}{\rho} \, d\rho=[\frac{(log \rho)^2}{2}]=\infty$
dove sbaglio?
Ah, ok, è che non capivo come volevi integrare la funzione scritta portando il log a denominatore. Sì, questo va bene, ma ti chiedo: e se avessi solo voluto sapere se la funzione risulta integrabile, senza fare il calcolo?
Dovrei confrontare la funzione con una funzione che so che è integrabile, ma non so come fare se non volessi passare a coordinate polari in quanto non so come trattare il logaritmo
Un criterio di convergenza afferma che $\int_a^\infty f(x)\ dx<\infty$ se esiste $\alpha>1$ tale che
$\lim_{x\to+\infty} x^\alpha f(x)=1$
Prova a vedere cosa accade nel tuo caso.
$\lim_{x\to+\infty} x^\alpha f(x)=1$
Prova a vedere cosa accade nel tuo caso.
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