Esistenza globale dele soluzioni di un EDO

[dragonspirit1]

Data $ y'=(pisin(y)-2y)x $ devo verificare l'esistenza globale:

per il teorema devo quindi verificare la lipschitzianità della $(pisin(y)-2y)x $ rispetto alla y.

$ (partial f)/(partial y) (pisin(y)-2y)x rightarrowxpicos(y)-2x
per la seconda condizione devo verificare che $ (pisin(y)-2y)x $ sia sottolineare. devo quindi trovare due funzioni limitanti in x $ | (pisin(y)-2y)x |< a(x)|y|+b(x) $
il seno posso maggiorarlo con la funzione constante 2 ad esempio e l'altra è lineare.

$ | (pisin(y)-2y)x |< a(x)|y|+b(x)rightarrow { ( b(x)=pix ),(a(x)=-2x ):} $

è giusto? non riesco a trovare alcun esempio in internet di applicazione di questo teorema

[gugo82]

Ok, l'avvio del ragionamento è giusto... Bisogna solo perfezionarne la conclusione.

Data la forma del secondo membro, usando la disuguaglianza triangolare (DT) e la limitatezza del seno hai:
\[
\begin{split}
\left| f(x,y)\right| &= |x|\ \left| \pi\ \sin y - 2y\right| \\
&\stackrel{\text{DT}}{\leq} |x|\ \left( \pi\ \left| \sin y\right| + 2|y| \right)\\
&\stackrel{|\sin y|\leq 1}{\leq} |x|\ \left( \pi + 2|y| \right)\\
&= \underbrace{2 |x|}_{=:a(x)}\ |y| + \underbrace{\pi |x|}_{=:b(x)}
\end{split}
\]
cosicché il secondo membro è sublineare rispetto ad \(y\) ed il teorema di prolungabilità su tutto \(\mathbb{R}\) si applica.