Esistenza ed unicità per i sistemi di ODE
Buongiorno a tutti,
cerco disperatamente il teorema di esistenza ed unicità per i sistemi di equazioni differenziali lineari.
In particolare mi interessa come si dimostra che la matrice è continua.
cerco disperatamente il teorema di esistenza ed unicità per i sistemi di equazioni differenziali lineari.
In particolare mi interessa come si dimostra che la matrice è continua.
Risposte
Intendi un sistema di equazioni in forma normale "generico":
\[
\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}(t))
\]
o un sistema lineare:
\[
\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t)\ \mathbf{x}(t) + \mathbf{b}(t)\; ?
\]
Nel primo caso, la dimostrazione si adatta da quella del caso unidimensionale in maniera standard (con l'ipotesi di lipschitzianità locale "scalare" rimpiazzata dall'analogo "vettoriale" \(|\mathbf{f}(t,\mathbf{x}) - \mathbf{f}(t,\mathbf{y})|\leq L |\mathbf{x}-\mathbf{y}|\)).
Nel secondo caso, la lipschitzianità locale è garantita dal fatto che la funzione (lineare in \(\mathbf{x}\)):
\[
\begin{split}
\mathbf{f}(t,\mathbf{x}) &:= A(t)\ \mathbf{x} + \mathbf{b}(t)\\
&= \left( \langle \mathbf{a}_1(t), \mathbf{x}\rangle + b_1(t) ,\ldots, \langle \mathbf{a}_N(t), \mathbf{x} \rangle + b_N(t)\right)
\end{split}
\]
(in cui \(\mathbf{a}_i(t)\) sono le righe di \(A(t)\) e \(\langle \cdot, \cdot\rangle\) denota il prodotto scalare di \(\mathbb{R}^N\)) si può controllare come segue, se si fa sui coefficienti della matrice l'ipotesi che essi siano continui (o anche solo localmente limitati) nell'insieme d'interesse.
Per ogni indice \(i\) hai:
\[
\begin{split}
\left| f_i(t,\mathbf{x}) - f_i(t,\mathbf{y})\right| &= \left|\langle \mathbf{a}_i(t), \mathbf{x}\rangle + \cancel{b_i(t)} - \langle \mathbf{a}_i(t), \mathbf{y}\rangle - \cancel{b_i(t)} \right|\\
&= \left|\langle \mathbf{a}_i(t), \mathbf{x} - \mathbf{y}\rangle\right|\\
&\leq \sum_{j=1}^N |a_i^j(t)|\ |x_j-y_j|\\
&\leq \underbrace{\max \left\{ \| a_i^1\|_{\infty},\ldots ,\| a_i^N\|_\infty \right\}}_{\color{maroon}{\leq \| A\|_\infty}}\ \underbrace{\sum_{j=1}^N |x_j-y_j|}_{\color{maroon}{\leq \sqrt{N}\ |\mathbf{x} - \mathbf{y}|}}\\
&\leq \sqrt{N}\ \|A\|_\infty\ \left|\mathbf{x} - \mathbf{y}\right|
\end{split}
\]
(con \(\|A\|_\infty := \max \{\|a_i^j\|_\infty,\ i,j=1,\ldots ,N\}\) e la disuguaglianza sulla somma ottenuta mediante la disuguaglianza tra media aritmetica e media quadratica[nota]Cioé:
\[
\frac{1}{N}\ \sum_{j=1}^N \alpha_j \leq \sqrt{\frac{1}{N}\ \sum_{j=1}^N (\alpha_j)^2}\; .
\][/nota]), dunque vale una maggiorazione à la Lipschitz:
\[
\begin{split}
\left| \mathbf{f}(t,\mathbf{x}) - \mathbf{f}(t,\mathbf{y})\right| &= \sqrt{\sum_{i=1}^N \left( f_i(t,\mathbf{x}) - f_i(t,\mathbf{y})\right)^2}\\
&\leq \sqrt{N}\ \|A\|_\infty\ \left|\mathbf{x} - \mathbf{y}\right|\ \sqrt{\sum_{i=1}^N 1}\\
&= \underbrace{N\ \|A\|_\infty}_{\color{maroon}{=:L}}\ \left|\mathbf{x} - \mathbf{y}\right|
\end{split}
\]
con la costante di Lipschitz \(L=N\ \|A\|_\infty\) dipende unicamente dalla scelta dell'intorno rispetto alla variabile indipendente \(t\) (sicché la lipschitzianità di \(\mathbf{f} (t,\mathbf{x}):= A(t)\mathbf{x} + \mathbf{b}(t)\) è addirittura uniforme rispetto alla variabile \(\mathbf{x}\)).
Inoltre, la continuità dei coefficienti di \(A(t)\) e delle componenti di \(\mathbf{b}(t)\), fa in modo che l'applicazione \(\mathbf{f} (t,\mathbf{x}):= A(t)\mathbf{x} + \mathbf{b}(t)\) sia continua dall'insieme d'interesse in \(\mathbb{R}^N\) (poiché infatti un'applicazione vettoriale è continua se e solo se sono continue le sue componenti).
Però, non so se ciò risponde alle tue domande... Dovresti essere un po' più precisa nella richiesta.
Parlare di continuità senza alcun riferimento allo spazio di partenza ed allo spazio di arrivo di una funzione è un po' ambiguo.
\[
\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}(t))
\]
o un sistema lineare:
\[
\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t)\ \mathbf{x}(t) + \mathbf{b}(t)\; ?
\]
Nel primo caso, la dimostrazione si adatta da quella del caso unidimensionale in maniera standard (con l'ipotesi di lipschitzianità locale "scalare" rimpiazzata dall'analogo "vettoriale" \(|\mathbf{f}(t,\mathbf{x}) - \mathbf{f}(t,\mathbf{y})|\leq L |\mathbf{x}-\mathbf{y}|\)).
Nel secondo caso, la lipschitzianità locale è garantita dal fatto che la funzione (lineare in \(\mathbf{x}\)):
\[
\begin{split}
\mathbf{f}(t,\mathbf{x}) &:= A(t)\ \mathbf{x} + \mathbf{b}(t)\\
&= \left( \langle \mathbf{a}_1(t), \mathbf{x}\rangle + b_1(t) ,\ldots, \langle \mathbf{a}_N(t), \mathbf{x} \rangle + b_N(t)\right)
\end{split}
\]
(in cui \(\mathbf{a}_i(t)\) sono le righe di \(A(t)\) e \(\langle \cdot, \cdot\rangle\) denota il prodotto scalare di \(\mathbb{R}^N\)) si può controllare come segue, se si fa sui coefficienti della matrice l'ipotesi che essi siano continui (o anche solo localmente limitati) nell'insieme d'interesse.
Per ogni indice \(i\) hai:
\[
\begin{split}
\left| f_i(t,\mathbf{x}) - f_i(t,\mathbf{y})\right| &= \left|\langle \mathbf{a}_i(t), \mathbf{x}\rangle + \cancel{b_i(t)} - \langle \mathbf{a}_i(t), \mathbf{y}\rangle - \cancel{b_i(t)} \right|\\
&= \left|\langle \mathbf{a}_i(t), \mathbf{x} - \mathbf{y}\rangle\right|\\
&\leq \sum_{j=1}^N |a_i^j(t)|\ |x_j-y_j|\\
&\leq \underbrace{\max \left\{ \| a_i^1\|_{\infty},\ldots ,\| a_i^N\|_\infty \right\}}_{\color{maroon}{\leq \| A\|_\infty}}\ \underbrace{\sum_{j=1}^N |x_j-y_j|}_{\color{maroon}{\leq \sqrt{N}\ |\mathbf{x} - \mathbf{y}|}}\\
&\leq \sqrt{N}\ \|A\|_\infty\ \left|\mathbf{x} - \mathbf{y}\right|
\end{split}
\]
(con \(\|A\|_\infty := \max \{\|a_i^j\|_\infty,\ i,j=1,\ldots ,N\}\) e la disuguaglianza sulla somma ottenuta mediante la disuguaglianza tra media aritmetica e media quadratica[nota]Cioé:
\[
\frac{1}{N}\ \sum_{j=1}^N \alpha_j \leq \sqrt{\frac{1}{N}\ \sum_{j=1}^N (\alpha_j)^2}\; .
\][/nota]), dunque vale una maggiorazione à la Lipschitz:
\[
\begin{split}
\left| \mathbf{f}(t,\mathbf{x}) - \mathbf{f}(t,\mathbf{y})\right| &= \sqrt{\sum_{i=1}^N \left( f_i(t,\mathbf{x}) - f_i(t,\mathbf{y})\right)^2}\\
&\leq \sqrt{N}\ \|A\|_\infty\ \left|\mathbf{x} - \mathbf{y}\right|\ \sqrt{\sum_{i=1}^N 1}\\
&= \underbrace{N\ \|A\|_\infty}_{\color{maroon}{=:L}}\ \left|\mathbf{x} - \mathbf{y}\right|
\end{split}
\]
con la costante di Lipschitz \(L=N\ \|A\|_\infty\) dipende unicamente dalla scelta dell'intorno rispetto alla variabile indipendente \(t\) (sicché la lipschitzianità di \(\mathbf{f} (t,\mathbf{x}):= A(t)\mathbf{x} + \mathbf{b}(t)\) è addirittura uniforme rispetto alla variabile \(\mathbf{x}\)).
Inoltre, la continuità dei coefficienti di \(A(t)\) e delle componenti di \(\mathbf{b}(t)\), fa in modo che l'applicazione \(\mathbf{f} (t,\mathbf{x}):= A(t)\mathbf{x} + \mathbf{b}(t)\) sia continua dall'insieme d'interesse in \(\mathbb{R}^N\) (poiché infatti un'applicazione vettoriale è continua se e solo se sono continue le sue componenti).
Però, non so se ciò risponde alle tue domande... Dovresti essere un po' più precisa nella richiesta.
Parlare di continuità senza alcun riferimento allo spazio di partenza ed allo spazio di arrivo di una funzione è un po' ambiguo.
Innanzitutto grazie!!
Il secondo caso è quello che mi interessa.
Hai ragione. Purtroppo non trovando traccia questo teorema sui testi che ho a disposizione sono stata fin troppo vaga.
Cmq pulciando un po' di aver trovato l'enunciato nei miei appunti del corso:
1 $f: t->A(t)x$ è continua in $(a.b)$
2 $||A(t)x-A(t)y||=||A(t)(x-y)||<=||A(t)|| ||x-y||$ lipschitzianità locale
3 $||A(t)x||<=||A(t)|| ||x||$ sublinearità
In particolare, più che la dimostrazione di questo teorema mi serve "giustificare" le ipotesi, nel senso che:
Come si definisce la continuità della funzione: $t->A(t)$?
Devono essere continui $a_{ij}(t)$?
E soprattutto spunta questo risultato, dove la prima è una norma qualsiasi, la seconda è la norma 2
$||A(t)-A(t')||<=||A(t)-A(t')||_2=sqrt{(sum (a_{ij}(t)-a_{ij}(t'))^2}$
Il secondo caso è quello che mi interessa.
"gugo82":
Però, non so se ciò risponde alle tue domande... Dovresti essere un po' più precisa nella richiesta.
Parlare di continuità senza alcun riferimento allo spazio di partenza ed allo spazio di arrivo di una funzione è un po' ambiguo.
Hai ragione. Purtroppo non trovando traccia questo teorema sui testi che ho a disposizione sono stata fin troppo vaga.
Cmq pulciando un po' di aver trovato l'enunciato nei miei appunti del corso:
1 $f: t->A(t)x$ è continua in $(a.b)$
2 $||A(t)x-A(t)y||=||A(t)(x-y)||<=||A(t)|| ||x-y||$ lipschitzianità locale
3 $||A(t)x||<=||A(t)|| ||x||$ sublinearità
In particolare, più che la dimostrazione di questo teorema mi serve "giustificare" le ipotesi, nel senso che:
Come si definisce la continuità della funzione: $t->A(t)$?
Devono essere continui $a_{ij}(t)$?
E soprattutto spunta questo risultato, dove la prima è una norma qualsiasi, la seconda è la norma 2
$||A(t)-A(t')||<=||A(t)-A(t')||_2=sqrt{(sum (a_{ij}(t)-a_{ij}(t'))^2}$
Allora, ricomincio da capo, sperando di aver capito 
Dato il sistema:
$\{(dotx=A(t)x+b(t)),(x(t_0)=x_0):}$
con $f(t,x(t))=A(t)x+b(t) $
$f: I sub RR \times RR^n$
se $A(t)$ e $b(t)$ sono continue in $I$, con $t_0 in I$ e $x_0 in RR^n$
ha una ed una sola soluzione nell'intervallo $I$.
Per dimostrarlo devo verificare che sono soddisfatte per $f$ le ipotesi per teorema di esistenza globale come ha fatto gugo un più sopra.
Immagino che l'ipotesi di sublinearità segue da com'è definità la $f$ o sfruttando il fatto che le sue derivate parziali sono uguali ${a_{i,j}$, e quindi limitate.
Dato il sistema:
$\{(dotx=A(t)x+b(t)),(x(t_0)=x_0):}$
con $f(t,x(t))=A(t)x+b(t) $
$f: I sub RR \times RR^n$
se $A(t)$ e $b(t)$ sono continue in $I$, con $t_0 in I$ e $x_0 in RR^n$
ha una ed una sola soluzione nell'intervallo $I$.
Per dimostrarlo devo verificare che sono soddisfatte per $f$ le ipotesi per teorema di esistenza globale come ha fatto gugo un più sopra.
Immagino che l'ipotesi di sublinearità segue da com'è definità la $f$ o sfruttando il fatto che le sue derivate parziali sono uguali ${a_{i,j}$, e quindi limitate.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo