Esistenza ed unicità per equazioni differenziali separabili
Buongiorno a tutti (sono nuovo in questo forum)
Da un po' sto cercando di studiare le equazioni differenziali seguendo alcune dispense dell'MIT. Purtroppo ci sono alcuni punti che mi rimangono poco chiari e che trovo che vengano passati sotto silenzio dall'autore delle dispense. Mi riferisco ora a http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-034-honors-differential-equations-spring-2009/lecture-notes-and-readings/MIT18_034s09_lec04.pdf, che asserisce che un'EDO della forma \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)} \) ,se $f(x)$ e $g(y)$ non si annullano contemporaneamente e sono continue in una sezione rettangolare $R$ del piano, ha un'unica soluzione ("locale") per ogni condizione iniziale $(x_0,y_0) \in R$.
Tanto per cominciare questa asserzione mi sembra sbagliata, basta prendere una condizione iniziale per cui $g(y_0) = 0$ per vederlo, ma come emendare questo testo oppure trovare una trattazione analoga e rigorosa delle equazioni differenziali a variabili separabili?
Inoltre comincio ad avere dei dubbi sulla nozione di soluzione "unica". Ogni "soluzione" è una funzione con un certo dominio comprendente $x_0$ che soddisfa l'equazione differenziale, a quanto ho capito, ma qualcuno potrebbe darmi una definizione rigorosa di soluzione "unica"? Basterebbe restringere il dominio per ottenere, a rigore un'altra soluzione da una data (il dominio sarebbe diverso), o forse mi sfugge qualcosa?
Forse mi basterebbe un consiglio su una buona dispensa sufficientemente rigorosa, precisa e comprensibile su questo argomento, ma faccio fatica a trovarla...
Grazie a tutti
Da un po' sto cercando di studiare le equazioni differenziali seguendo alcune dispense dell'MIT. Purtroppo ci sono alcuni punti che mi rimangono poco chiari e che trovo che vengano passati sotto silenzio dall'autore delle dispense. Mi riferisco ora a http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-034-honors-differential-equations-spring-2009/lecture-notes-and-readings/MIT18_034s09_lec04.pdf, che asserisce che un'EDO della forma \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)} \) ,se $f(x)$ e $g(y)$ non si annullano contemporaneamente e sono continue in una sezione rettangolare $R$ del piano, ha un'unica soluzione ("locale") per ogni condizione iniziale $(x_0,y_0) \in R$.
Tanto per cominciare questa asserzione mi sembra sbagliata, basta prendere una condizione iniziale per cui $g(y_0) = 0$ per vederlo, ma come emendare questo testo oppure trovare una trattazione analoga e rigorosa delle equazioni differenziali a variabili separabili?
Inoltre comincio ad avere dei dubbi sulla nozione di soluzione "unica". Ogni "soluzione" è una funzione con un certo dominio comprendente $x_0$ che soddisfa l'equazione differenziale, a quanto ho capito, ma qualcuno potrebbe darmi una definizione rigorosa di soluzione "unica"? Basterebbe restringere il dominio per ottenere, a rigore un'altra soluzione da una data (il dominio sarebbe diverso), o forse mi sfugge qualcosa?
Forse mi basterebbe un consiglio su una buona dispensa sufficientemente rigorosa, precisa e comprensibile su questo argomento, ma faccio fatica a trovarla...
Grazie a tutti
Risposte
Sulla dispensa da te citata il teor. di esistenza e unicità locale è enunciato per equazioni della forma \(f(x) dx = g(y) dy\), per le quali non è un problema se \(g\) si annulla.
Se vuoi lasciare l'equazione scritta come hai fatto tu, è ovvio che devi escludere a priori i punti del piano tali che \(g(y) = 0\).
Per quanto riguarda l'unicità, si dice che un certo problema di Cauchy \(y' = f(x,y)\), \(y(x_0) = y_0\) ha soluzione unica se date due qualsiasi soluzioni \(y_1 : I_1\to\mathbb{R}^n\), \(y_2 : I_2\to\mathbb{R}^n\), con \(I_1\) e \(I_2\) intorni di \(x_0\), si ha che \(y_1(x) = y_2(x)\) per ogni \( x\in I_1\cap I_2\).
(In questo modo si elimina l'arbitrarietà della scelta del dominio.)
Se vuoi lasciare l'equazione scritta come hai fatto tu, è ovvio che devi escludere a priori i punti del piano tali che \(g(y) = 0\).
Per quanto riguarda l'unicità, si dice che un certo problema di Cauchy \(y' = f(x,y)\), \(y(x_0) = y_0\) ha soluzione unica se date due qualsiasi soluzioni \(y_1 : I_1\to\mathbb{R}^n\), \(y_2 : I_2\to\mathbb{R}^n\), con \(I_1\) e \(I_2\) intorni di \(x_0\), si ha che \(y_1(x) = y_2(x)\) per ogni \( x\in I_1\cap I_2\).
(In questo modo si elimina l'arbitrarietà della scelta del dominio.)
Ma $f(x)dx = g(y)dy$ è una vera equazione? Come verrebbero definiti i simboli $dx$ e $dy$? Supponiamo di avere $g(y) = y-1$ e $f(x) = x$, quale potrebbe essere una soluzione con la condizione iniziale $y(1) = 1$?
"atat1tata":
Ma $f(x)dx = g(y)dy$ è una vera equazione? Come verrebbero definiti i simboli $dx$ e $dy$? Supponiamo di avere $g(y) = y-1$ e $f(x) = x$, quale potrebbe essere una soluzione con la condizione iniziale $y(1) = 1$?
Basta definire i concetti. In quel caso conviene considerare la \(1\)-forma \(\omega := f(x) dx - g(y) dy\) e definire soluzione dell'equazione \(\omega = 0\) una curva regolare \(\varphi: I \to \mathbb{R}^2\), \(\varphi(t) = (x(t), y(t))\), tale che \(f(x(t))\dot{x}(t) - g(y(t)) \dot{y}(t) = 0\) per ogni \(t\in I\).
Se non hai mai sentito parlare di forme differenziali, per il momento puoi lasciare perdere e considerare l'equazione a variabili separabili nella forma scritta da te inizialmente, considerando solo il caso \(g(y)\neq 0\).
Nel tuo esempio la soluzione è \(y(x) = 1\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\); nel linguaggio delle forme differenziali avresti \(\varphi(t) = (t, 1)\), \(t\in\mathbb{R}\).
Ma non si può scrivere in ogni caso nella forma $g(y)dy/dx=f(x)$, che ha senso?
@Rigel:
Ho capito, quindi la dispensa tornerebbe se si potessero considerare come soluzioni dell'equazione differenziale delle curve nel piano, anche non esprimibili sotto la forma di funzioni $y = f(x)$ ma esprimibili nella forma $(x(t),y(t))$. È interessante, non ho incontrato finora dei testi che considerassero "equazioni differenziali sulle curve", pensavo che la soluzione dovesse essere per forza una funzione
@yellow:
Sì, penso che abbia senso anche se finora ho incontrato solo lo studio delle equazioni differenziali in forma normale $y' = f(x,y)$ e non nella forma $F(y',y,x)=0$. Effettivamente come l'hai scritta tu si vede subito che se $g(y) = 0$ si crea un problema se $f(x) \ne 0 $.
Il fatto è che sembrano tutti ragionamenti fatti caso per caso. È come dire che $f(x) =\frac{x}{x}$ non è definita in $x=0$, solo che essendo queste equazioni differenziali il ragionamento si fa ancora più complicato e pieno di sottocasi perché entrano in gioco molte più variabili...
Ho capito, quindi la dispensa tornerebbe se si potessero considerare come soluzioni dell'equazione differenziale delle curve nel piano, anche non esprimibili sotto la forma di funzioni $y = f(x)$ ma esprimibili nella forma $(x(t),y(t))$. È interessante, non ho incontrato finora dei testi che considerassero "equazioni differenziali sulle curve", pensavo che la soluzione dovesse essere per forza una funzione
@yellow:
Sì, penso che abbia senso anche se finora ho incontrato solo lo studio delle equazioni differenziali in forma normale $y' = f(x,y)$ e non nella forma $F(y',y,x)=0$. Effettivamente come l'hai scritta tu si vede subito che se $g(y) = 0$ si crea un problema se $f(x) \ne 0 $.
Il fatto è che sembrano tutti ragionamenti fatti caso per caso. È come dire che $f(x) =\frac{x}{x}$ non è definita in $x=0$, solo che essendo queste equazioni differenziali il ragionamento si fa ancora più complicato e pieno di sottocasi perché entrano in gioco molte più variabili...
"atat1tata":Puoi trovare informazioni su questo nella dispensa di E.Vitali:
@Rigel:
Ho capito, quindi la dispensa tornerebbe se si potessero considerare come soluzioni dell'equazione differenziale delle curve nel piano, anche non esprimibili sotto la forma di funzioni $y = f(x)$ ma esprimibili nella forma $(x(t),y(t))$. È interessante, non ho incontrato finora dei testi che considerassero "equazioni differenziali sulle curve", pensavo che la soluzione dovesse essere per forza una funzione
http://www-dimat.unipv.it/vitali/segue/ ... 6&page=121
(clic su Dispense.pdf, cerca nel terzo capitolo).
"yellow":
Ma non si può scrivere in ogni caso nella forma $g(y)dy/dx=f(x)$, che ha senso?
Sì, puoi farlo. Usando il concetto di soluzione che ho scritto sopra hai però maggiore generalità (può darsi che usa soluzione sia esprimibile come \(x = x(y)\) ma non come \(y = y(x)\)).
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