Esistenza ed unicità equazione lineare del primo ordine

[Guglielmo1991]

Ho un dubbio su una tipologia di esercizi.
Data l'equazione differenziale
\[y'+a(x)y=b(x)\]
e le relative condizioni al contorno
\[f(x0)=y0\]
Studiare esistenza ed unicita della soluzione dell'equazione al variare dei parametri x0 e y0.
Ora ho un buco sulla teoria di questo argomento , so come trattare quelle a variabili separabili ma sulle lineari non ho appunti e il libro è poco chiaro.
Da quello che ho capito si deve verificare la continuità delle funzioni \(a(x)\) e \(b(x)\) per trovare gli eventuali x0 su cui non esiste la soluzione ma per \(y0\) come si fa?

ecco un esempio
\[y'-|x|y=\frac{x}{x^2-1}\]
Studiare esistenza ed unicita della soluzione dell'equazione al variare dei parametri x e y

[Sk_Anonymous]

Strano che tu non conosca il seguente fondamentale Teorema di esistenza ed unicità locale:
Siano \(\displaystyle \Omega \subset \mathbb{R}^{n+1} \) un insieme aperto, \(\displaystyle (x_{0},y_{0}) \in \Omega \), e sia \(\displaystyle f \in \mathcal{C}(\Omega; \mathbb{R}^n) \) una funzione localmente di Lipschitz in \(\displaystyle y \). Allora esiste \(\displaystyle \delta >0 \) t.c. il seguente problema di Cauchy \[\displaystyle \begin{cases} y'=f(x,y) \\ y(x_{0} )=y_{0} \end{cases} \] ha soluzione unica \(\displaystyle y \in \mathcal{C^1}(I; \mathbb{R}^n) \) nell'intervallo \(\displaystyle I=[x_{0} - \delta, x_{0} + \delta] \).

Una versione più generale del teorema garantisce anche esistenza ed unicità globale.