Esistenza e unicità soluzione debole equazione trasporto

[robin987]

Salve ragazzi...devo affrontare il seguente esercizio ed ho problemi nella risoluzione...soprattutto nella seconda parte. Potete darmi una mano? Grazie in anticipo:
$u$, funzione localmente integrabile in $\R\times[0,\infty)$, e una soluzione debole per
\begin{eqnarray}\label{eqtransport}
\left\{
\begin{array}{ll}
u_{t}+ c u_{x} = 0\qquad & x\in R, t>0\\
u(x,0)= g & x\in R \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
se
\[ \int_0^\infty dt \int_{R} u ( v_t +c v_x)\,dx = -\int_R g(x) v(x,0) \,dx\]
per ogni funzione test $v \in C^infty$ a supporto compatto.

(a)Dimostra che se $g$ è localmente integrabile, allora
$u(x,t)= g(x-ct)$ è una soluzione debole del problema in esame.

(b) Data $g$ continua, dimostra che se $u(x,t)$ è una soluzione debole continua allora
$u(x,t)=g(x-ct)$. [Suggermento. Dimostra che la differenza $w$ tra due soluzioni deboli continue è identicamente nulla.
Procedi per assurdo. Supponi $w$ positiva in un intorno di un dato punto
$(x_0,t_0)$. Usa la funzione test
\[v(x,t) = \int_t ^{+\infty} f(x-c(t-s),s)\,ds = \int_0 ^{+\infty} f(x+c\tilde s,t+\tilde s)\,d\tilde s, \]
dove $f(x,t)\ge 0$ è una arbitraria funzione $C^\infty$ con supporto $B_\varepsilon(x_0, t_0)$ and $\varepsilon$
è sufficiente piccolo, quindi arriva ad una contraddizione.]

[robin987]

La prima parte del problema semplicemente sostituisco nella formula della soluzione debole ed integro per parti (credo sia lecito se considero le derivate di g in forma debole dato che $ g in L_{loc}$ );in questo modo ottengo l'uguaglianza. Per la seconda parte non capisco perchè nel suggerimento il prof considera questa funzione test... che mi complica parecchio i calcoli...