Esistenza e unicità soluzione debole del problema di Poisson
Chiedo perdono agli analisti che mi infameranno, ma sto lavorando con la tesi e le voragini che affliggono la mia conoscenza dell'analisi stanno emergendo senza pietà...
Ho un problema del tipo
$- \Delta u = f$
su un domino limitato $\Omega$ in $R^2$ dove $f$ è una funzione regolare quanto volete.
La formulazione debole in $H^1(\Omega)$ sarà una roba del tipo:
trovare $u$ tale che per ogni $v \in H^1(\Omega)$
$a(u,v) = \int_\Omega f v + \int_\Gamma q v$
dove $\Gamma$ è il contorno di $\Omega$, $q$ la derivata normale di $u$ e $a(u,v) : = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v$
- Se il problema ha dato al bordo di Dirichlet omogeneo non ci sono problemi, perchè si passa a lavorare in $H^1_0 (\Omega)$ e da Poincarè troviamo la coercività della forma bilineare.
- Se il dato è di Dirichlet non omogeneo si lavora in maniera assolutamente analoga utilizzando un operatore di rilevamento per portarsi ancora in $H^1_0 (\Omega)$
- se ci sono condizioni al bordo miste (dato di Dirichlet su una parte del contorno e di Neumann sul resto) come si fa? Perchè io utilizzerei lo spazio $H^1_{\Gamma_D}(\Omega)$ delle funzioni $H^1(\Omega)$ a traccia nulla sul bordo di Dirichlet, ma la formulazione diventerebbe:
trovare $u \in H^1(\Omega)$ tale che per ogni $v \in H^1_{\Gamma_D}(\Omega)$
$a(u,v) = \int_\Omega f v + \int_{\Gamma_N} \varphi v$
dove $\varphi$ è il dato assegnato sul bordo di Neumann $\Gamma_N$. Ora io posso ancora eliminare il rilevamento su $\Gamma_D$ per portarmi in una situazione in cui la $u$ e le funzioni test vivono nello stesso spazio, ma chi mi dice che la $a$ sia coerciva?
EDIT: riscritto il tutto in maniera (spero) un po' più comprensibile...
Ho un problema del tipo
$- \Delta u = f$
su un domino limitato $\Omega$ in $R^2$ dove $f$ è una funzione regolare quanto volete.
La formulazione debole in $H^1(\Omega)$ sarà una roba del tipo:
trovare $u$ tale che per ogni $v \in H^1(\Omega)$
$a(u,v) = \int_\Omega f v + \int_\Gamma q v$
dove $\Gamma$ è il contorno di $\Omega$, $q$ la derivata normale di $u$ e $a(u,v) : = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v$
- Se il problema ha dato al bordo di Dirichlet omogeneo non ci sono problemi, perchè si passa a lavorare in $H^1_0 (\Omega)$ e da Poincarè troviamo la coercività della forma bilineare.
- Se il dato è di Dirichlet non omogeneo si lavora in maniera assolutamente analoga utilizzando un operatore di rilevamento per portarsi ancora in $H^1_0 (\Omega)$
- se ci sono condizioni al bordo miste (dato di Dirichlet su una parte del contorno e di Neumann sul resto) come si fa? Perchè io utilizzerei lo spazio $H^1_{\Gamma_D}(\Omega)$ delle funzioni $H^1(\Omega)$ a traccia nulla sul bordo di Dirichlet, ma la formulazione diventerebbe:
trovare $u \in H^1(\Omega)$ tale che per ogni $v \in H^1_{\Gamma_D}(\Omega)$
$a(u,v) = \int_\Omega f v + \int_{\Gamma_N} \varphi v$
dove $\varphi$ è il dato assegnato sul bordo di Neumann $\Gamma_N$. Ora io posso ancora eliminare il rilevamento su $\Gamma_D$ per portarmi in una situazione in cui la $u$ e le funzioni test vivono nello stesso spazio, ma chi mi dice che la $a$ sia coerciva?
EDIT: riscritto il tutto in maniera (spero) un po' più comprensibile...
Risposte
Riporto la domanda in vetta sperando che adesso il tutto risulti più comprensibile... 
Se non ricordo male la disuguaglianza di Poincarè continua a valere purché $H^{n-1}(\Gamma_D) > 0$.
Prova a dare un'occhiata qui (Coroll. 3(ii) p. 7):
http://hal.inria.fr/docs/00/06/79/62/PDF/poincare7.pdf
Prova a dare un'occhiata qui (Coroll. 3(ii) p. 7):
http://hal.inria.fr/docs/00/06/79/62/PDF/poincare7.pdf
la notazione $H^{n−1}(\Gamma_D)>0$ mi risulta oscura: è un modo figo per dire che il contorno non dev'essere tutto di Neumann?
È la misura di Hausdorff $n-1$ dimensionale; roughly speaking se n fosse 3 allora $H^{2}$ sarebbe la misura di area.
Ok, quindi nel mio caso di $\Omega \subseteq RR^2$ è come dire che la lunghezza di $\Gamma_D > 0$.
In sostanza mi state dicendo che posto che l'insieme abbia un contorno decente la disuguaglianza di Poincarè vale sempre, a patto che esista almeno un pezzo del contorno in cui si ha $u=0$ (cosa che in pratica posso sempre supporre sfruttando una funzione di rilevamento). Non si finisce mai di scoprirsi ignoranti...
In sostanza mi state dicendo che posto che l'insieme abbia un contorno decente la disuguaglianza di Poincarè vale sempre, a patto che esista almeno un pezzo del contorno in cui si ha $u=0$ (cosa che in pratica posso sempre supporre sfruttando una funzione di rilevamento). Non si finisce mai di scoprirsi ignoranti...
Resuscito questo thread perchè mi servirebbe un riferimento (il mio prof della tesi ha sempre paura che qualche analista invasato ci resti male se non c'è un riferimento per ogni risultato che non sia noto anche ai sassi): qualcuno mi sa dire se sul Brezis c'è il risultato di cui si parla sopra?
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