Esistenza e unicità globale
buongiorno.
ho un esercizio con una funzione y la cui derivata è $y'=x-y^2$. inoltre $y(0)=0$, e va studiata per $x>0$.
con il teorema di cauchy locale ho mostrato che esiste una soluzione nell'intorno di 0.
voglio vedere con il teorema di cauchy globale se esiste tale soluzione si estende all'infinito.
Si prende un intervallo [-a,a] x R, chiamato anche intervallo massimale.
Si vuole vedere se ci sono limitazioni su questo a, oppure se può pure essere infinito (con le dovute sistemazioni considerando che dobbiamo studiarla per x>0, ma queste sono finezze).
Per dimostrare l'esistenza locale abbiamo visto che y' è continua in R^2 e che la derivata parziale di y' rispetto a y è anch'essa continua in R^2. Quest'ultima affermazione è equivalente a dire che y' è lipschitziana.
Adesso mi manca da mostrare questo:
$|x-y^2|$ con $-a<=x<=a$
devo dimostrare che $|x-y^2|<=|c| + d|y|$
c,d sono costanti e possono pure essere a o imparentati con a.
Sono ormai circa 3-4 anni che non mastico più queste situazioni, per cui magari la soluzione è più semplice di quello che penso.
Io credo che debba usare il fatto che y' sia lipschitziana e che quindi la sua derivata sia limitata. Però non riesco a utilizzare queste due informazioni per mostrare quella disuguaglianza.
Idee? Soluzioni?
Spero in una rapida risposta, visto che ho un paio di miei colleghi che stanno preparando l'esame di Analisi II tra un paio di giorni e non sono riuscito a risolvergli questo quesito.
Grazie!
ho un esercizio con una funzione y la cui derivata è $y'=x-y^2$. inoltre $y(0)=0$, e va studiata per $x>0$.
con il teorema di cauchy locale ho mostrato che esiste una soluzione nell'intorno di 0.
voglio vedere con il teorema di cauchy globale se esiste tale soluzione si estende all'infinito.
Si prende un intervallo [-a,a] x R, chiamato anche intervallo massimale.
Si vuole vedere se ci sono limitazioni su questo a, oppure se può pure essere infinito (con le dovute sistemazioni considerando che dobbiamo studiarla per x>0, ma queste sono finezze).
Per dimostrare l'esistenza locale abbiamo visto che y' è continua in R^2 e che la derivata parziale di y' rispetto a y è anch'essa continua in R^2. Quest'ultima affermazione è equivalente a dire che y' è lipschitziana.
Adesso mi manca da mostrare questo:
$|x-y^2|$ con $-a<=x<=a$
devo dimostrare che $|x-y^2|<=|c| + d|y|$
c,d sono costanti e possono pure essere a o imparentati con a.
Sono ormai circa 3-4 anni che non mastico più queste situazioni, per cui magari la soluzione è più semplice di quello che penso.
Io credo che debba usare il fatto che y' sia lipschitziana e che quindi la sua derivata sia limitata. Però non riesco a utilizzare queste due informazioni per mostrare quella disuguaglianza.
Idee? Soluzioni?
Spero in una rapida risposta, visto che ho un paio di miei colleghi che stanno preparando l'esame di Analisi II tra un paio di giorni e non sono riuscito a risolvergli questo quesito.
Grazie!
Risposte
Ma non lo puoi fare. Non vedi quel termine quadratico in $y$? Questo teorema di esistenza globale non si può applicare qua, dovresti accorgertene a occhio.
Poi stai attento alla teoria che sei parecchio confuso. Non è $y'$ che deve essere lipschitziana ma $f(x,y)$, nel tuo caso la funzione $x-y^2$. Condizione sufficiente affinché si verifichi questo è che $frac{partial f}{partial y}$ sia limitata. E questo è sicuramente vero localmente ma non globalmente: calcola la derivata prima di $f$ rispetto ad $y$, viene fuori $-2y$ che non è una funzione limitata. Hai quindi di sicuro l'esistenza e l'unicità locale ma devi continuare l'analisi se vuoi appurare l'esistenza globale. E anzi, ti dico che questo problema di Cauchy ha tutta l'aria di presentare fenomeni di esplosione in tempo finito, ovvero di soluzioni non definite su tutto l'asse reale.
Poi stai attento alla teoria che sei parecchio confuso. Non è $y'$ che deve essere lipschitziana ma $f(x,y)$, nel tuo caso la funzione $x-y^2$. Condizione sufficiente affinché si verifichi questo è che $frac{partial f}{partial y}$ sia limitata. E questo è sicuramente vero localmente ma non globalmente: calcola la derivata prima di $f$ rispetto ad $y$, viene fuori $-2y$ che non è una funzione limitata. Hai quindi di sicuro l'esistenza e l'unicità locale ma devi continuare l'analisi se vuoi appurare l'esistenza globale. E anzi, ti dico che questo problema di Cauchy ha tutta l'aria di presentare fenomeni di esplosione in tempo finito, ovvero di soluzioni non definite su tutto l'asse reale.
ovviamente ho le idee confuse, dato che come ho scritto sono 3-4 anni che non vedo assolutamente queste situazioni 
detto questo, i miei colleghi volevano più che altro capire come fare per dimostrare quella disuguaglianza.
detto questo, i miei colleghi volevano più che altro capire come fare per dimostrare quella disuguaglianza.
Si può fare un'analisi qualitativa dell'equazione; se disegni il segno di $f(x,y) = x-y^2$ nel piano $(x,y)$, tenendo conto della condizione iniziale vedi abbastanza rapidamente che la soluzione $y(x)$ è definita per ogni $x \ge 0$, è monotona crescente e $0\le y(x) \le \sqrt{x}$ per ogni $x\ge 0$.
Come dicevo, dovresti ricordare ai tuoi colleghi che quella disuguaglianza non si può dimostrare per ogni $y$ perché è falsa. Una funzione $g(y)$ che verifichi una stima del tipo
$|g(y)|le A+B|y|, quad y \in RR$
per costanti $A, B>0$ si dice sublineare, ovvero "meno che lineare". Anche andando solo ad intuito, ti pare possibile che $y^2$ possa essere meno che lineare?
Questo è il ragionamento istintivo a cui facevo riferimento sopra, ed è il campanello d'allarme che ci fa subito sentire puzza di fenomeni di esplosione in tempo finito.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Rigel.
$|g(y)|le A+B|y|, quad y \in RR$
per costanti $A, B>0$ si dice sublineare, ovvero "meno che lineare". Anche andando solo ad intuito, ti pare possibile che $y^2$ possa essere meno che lineare?
Questo è il ragionamento istintivo a cui facevo riferimento sopra, ed è il campanello d'allarme che ci fa subito sentire puzza di fenomeni di esplosione in tempo finito.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Rigel.
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