Esistenza e unicità della soluzione di un P.d.C.

[Riccardo Desimini]

Ciao a tutti,
stamattina pongo un problema riguardo al problema di Cauchy
\[ \cases{y'(x) + ay(x) = af(x) \\ y(0) = y_0} \]
dove \( a \in \mathbb{R} \) e \( f(x) = b\operatorname{sca}(x) \) (\( b \in \mathbb{R} \)).

In sostanza non so come stabilire esistenza e unicità della soluzione nel caso in cui \( f \) sia un gradino, perché in tal caso non vale il teorema di esistenza e unicità (dato che in \( x = 0 \) \( f \) non è continua).

Chi mi aiuta?

[gugo82]

Ovviamente, il problema si pone solo nel caso \(a,b\neq0\), altrimenti il problema ricade nel caso classico.

Chiaramente di un problema di quel tipo vai a cercare direttamente soluzioni "generalizzate", ossia o soluzioni deboli oppure soluzioni nel senso delle distribuzioni, perché "a naso" sai che non puoi ottenere grande regolarità se il termine noto non è continuo (infatti, non riesci ad usare la EDO nemmeno per stabilire che \(y^\prime\) è continua).

Volendo giustificare meglio quest'affermazione nel caso in esame, puoi ragionare nel modo che segue.
Immagina che \(y\) sia una soluzione continua del tuo PdC. Fissiamo un intorno di \(0\), diciamo \(]-\varepsilon ,\varepsilon[\) (con \(\varepsilon >0\)), tanto "piccolo" che i valori di \(y(x)\) si discostino poco dal valore di \(y_0\); fatta tale scelta, \(y^\prime\) risulta continua in \(]-\varepsilon ,0[\) ed in \(]0,\varepsilon[\) (regolarità dalla EDO) e si ha:
\[
\begin{split}
\forall x\in ]-\varepsilon ,0[,\quad y^\prime (x) &= -ay(x) \approx -ay_0\\
\forall x\in ]0, \varepsilon[,\quad y^\prime (x) &= -ay(x) +ab \approx -a(y_0 -b)\; ;
\end{split}
\]
da quanto detto sopra segue che i valori di \(y^\prime \) in \(]-\varepsilon ,0[\) ed in \(]0,\varepsilon[\) si discostano poco, rispettivamente, da \(-ay_0\) e da \(-a(y_0-b)\); ora, se \(a,b\neq 0\), si ha \(-ay_0\neq -a(y_0-b)\) cosicché possiamo affermare che c'è un intorno di \(0\) (eventualmente più "piccolo" di \(]-\varepsilon, \varepsilon[\)) in cui \(y^\prime\) ha per immagine due intervalli disgiunti.
Visto che, per un teorema di Darboux, la derivata di una funzione derivabile gode della proprietà dei valori intermedi (cioé, in ogni intorno di ogni punto, la derivata prende tutti i valori compresi tra i propri estremi superiore ed inferiore), se per assurdo \(y\) fosse derivabile anche in \(0\) l'immagine \(y^\prime (]-\varepsilon ,\varepsilon[)\) dovrebbe essere un intervallo; ma ciò è assurdo, per quanto appena visto.
Ciò giustifica, in questo caso, l'affermazione "a naso" fatta prima.

Quindi capisci che c'è qualche magagna sotto e che, per ottenere esistenza, devi usare teoremi un po' più potenti di quelli classici, ambientando il problema in opportuni spazi funzionali; mentre per ottenere unicità devi usare altre tecniche.

Tuttavia, nel caso di termini noti lisci a tratti, l'esistenza si può ottenere spezzando il problema in problemi parziali "classici" e raccordando in modo opportuno le soluzioni.
Ad esempio, considera il tuo caso. Se chiami \(y_<\) ed \(y_>\) le soluzioni massimali dei PdC:
\[
\begin{cases} y^\prime(x) + a\ y(x) =0 &\text{, in } ]-\infty ,0[\\
y(0)=y_0
\end{cases}\qquad \text{e} \qquad \begin{cases} y^\prime(x) + a\ y(x) =ab &\text{, in } ]0, \infty[\\
y(0)=y_0
\end{cases}
\]
(soluzioni che esistono e sono uniche, per il teorema di esistenza ed unicità), la funzione:
\[
y(x) := \begin{cases} y_< (x) &\text{, per } x\leq 0\\
y_> (x) &\text{, per } x\geq 0
\end{cases}
\]
è continua in \(\mathbb{R}\) e soddisfa il PdC iniziale in \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\) (quindi è una soluzione generalizzata).

In particolare hai \(y_<(x) := y_0\ e^{-ax}\) e \(y_>(x) := (y_0-b) e^{-ax} +b\), sicché:
\[
y(x) := \begin{cases} y_0\ e^{-ax} &\text{, per } x\leq 0\\
(y_0-b) e^{-ax} +b &\text{, per } x\geq 0\; .
\end{cases}
\]
Se \(a,b\neq 0\), si vede che tale \(y\) non è derivabile in \(0\), giacché:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0^-} \frac{y(x)-y(0)}{x-0} &= \lim_{x\to 0^-} \frac{y_0e^{-ax} -y_0}{x} = - \frac{y_0}{a}\\
\lim_{x\to 0^+} \frac{y(x)-y(0)}{x-0} &= \lim_{x\to 0^+} \frac{(y_0-b)e^{-ax} +b-y_0}{x} = - \frac{y_0-b}{a}
\end{split}
\]
e \(- \frac{y_0}{a} \neq - \frac{y_0-b}{a}\).

[Riccardo Desimini]

"gugo82":Ad esempio, considera il tuo caso. Se chiami \( y_< \) ed \( y_> \) le soluzioni massimali dei PdC:
\[ \begin{cases} y^\prime(x) + a\ y(x) =0 &\text{, in } ]-\infty ,0[\\ y(0)=y_0 \end{cases}\qquad \text{e} \qquad \begin{cases} y^\prime(x) + a\ y(x) =ab &\text{, in } ]0, \infty[\\ y(0)=y_0 \end{cases} \]
(soluzioni che esistono e sono uniche, per il teorema di esistenza ed unicità)

Ma scusa, considera il PdC destro (cioè quello in \( (0, +\infty) \)): anche in questo caso \( 0 \notin (0,+\infty) \) quindi non capisco come possa valere il teorema di esistenza e unicità.

[gugo82]

Non vedo il problema... Forse quelli non sono PdC "classici", ma sono comunque problemi ai limiti che sai risolvere.
Quindi dov'è il problema?

Ad ogni modo, se vuoi trasformarli in PdC classici, ti basta prolungare i termini noti con continuità a destra [risp. a sinistra] di \(0\).