Esistenza e Unicità del problema di Cauchy
Ciao a tutti,
vorrei avere delucidazioni riguardo il seguente teorema (ponendo delle domande)
il teorema ci permette di stabilire se il problema di Cauchy presenta una unica soluzione e se questa esiste,
mi sono posto alcune domande:
avente una funzione $ƒ : (a,b) xx (c,d) rarr RR$ e ammettiamo che $x_0 notin (a,b)$ e $y_0 notin (c,d)$ ammettiamo in questo caso che il seguente problema non ha soluzioni (giusto?)
Se gli intervalli dati non fossero continui?
Se $x_0$ oppure $y_0$ si dovesse trovare su un punto di non derivabilità?
Ad esempio vorrei capire cosa potrei dire del seguente problema di Cauchy (l'ho inventato al volo, ho cercato di mettere delle soluzioni al limite):
$\{(y'(x)=[y(x)]^2),(y(1)=0):}$
non definendo se studiare $x_0$ da destra o da sinistra.
se non sbaglio la soluzione dell'equazione differenziale dovrebbe essere $y(x)=(1)/(1-x)+c$
vorrei avere delucidazioni riguardo il seguente teorema (ponendo delle domande)
il teorema ci permette di stabilire se il problema di Cauchy presenta una unica soluzione e se questa esiste,
mi sono posto alcune domande:
avente una funzione $ƒ : (a,b) xx (c,d) rarr RR$ e ammettiamo che $x_0 notin (a,b)$ e $y_0 notin (c,d)$ ammettiamo in questo caso che il seguente problema non ha soluzioni (giusto?)
Se gli intervalli dati non fossero continui?
Se $x_0$ oppure $y_0$ si dovesse trovare su un punto di non derivabilità?
Ad esempio vorrei capire cosa potrei dire del seguente problema di Cauchy (l'ho inventato al volo, ho cercato di mettere delle soluzioni al limite):
$\{(y'(x)=[y(x)]^2),(y(1)=0):}$
non definendo se studiare $x_0$ da destra o da sinistra.
se non sbaglio la soluzione dell'equazione differenziale dovrebbe essere $y(x)=(1)/(1-x)+c$
Risposte
e no,la soluzione è la funzione $y=0$
vero la soluzione in questo caso dovrebbe avere come $x_0=-1$ per eguagliare $y=0$... 
però supponiamo che io dovessi studiare la funzione in $x_0=1$
cosa dovrei dire a riguardo del problema di Cauchy?
però supponiamo che io dovessi studiare la funzione in $x_0=1$
cosa dovrei dire a riguardo del problema di Cauchy?
quindi,ad esempio $y(1)=a$ ?
beh,le ipotesi del teorema sono verificate e quindi esiste un'unica soluzione del problema di Cauchy definita in un intervallo del tipo $(1-epsilon,1+epsilon)$
beh,le ipotesi del teorema sono verificate e quindi esiste un'unica soluzione del problema di Cauchy definita in un intervallo del tipo $(1-epsilon,1+epsilon)$
quindi potrei concludere affermando che per $y(1)= ...$ il problema di Cauchy non fornisce un'unica soluzione giusto? e riguardo la sua esistenza?
no,la soluzione esiste ed è unica
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