Esistenza e unicià
Salve ragazzi ,
ho dei dubbi riguardo il teorema di esistenza e unicità..
Per esempio preso il problema di Cauchy:
$ \{ (y'=(2y^2)/(1-x^2 ) , ", in " I), ( y(0)=3, "" ) :} $
L'intervallo massimale di esistenza è $I=(-1,1)$
ora per verificare l'unicità della soluzione nell ' intervallo massimale devo verificare la lipschitzianità rispetto alla seconda variabile $y$ ,
dunque vado a verificiare che la quantità
$ (partial f(x,y))/(partial y) $ esiste limitata..
Ma che valori devo prendere di $y$ ? Ho visto molti esercizi valutano questa derivata parziale soltanto nel punto della condizione iniziale , ovvero in $y(0)=3$ nell 'esempio che ho scritto sopra , io però penso che dovrei verificare l'esistenza e la limitatezza di questa derivata per tutti i valori che prende la $y$ quando la $x$ varia nell' intervallo massimale.
Grazie per l'aiuto.
ho dei dubbi riguardo il teorema di esistenza e unicità..
Per esempio preso il problema di Cauchy:
$ \{ (y'=(2y^2)/(1-x^2 ) , ", in " I), ( y(0)=3, "" ) :} $
L'intervallo massimale di esistenza è $I=(-1,1)$
ora per verificare l'unicità della soluzione nell ' intervallo massimale devo verificare la lipschitzianità rispetto alla seconda variabile $y$ ,
dunque vado a verificiare che la quantità
$ (partial f(x,y))/(partial y) $ esiste limitata..
Ma che valori devo prendere di $y$ ? Ho visto molti esercizi valutano questa derivata parziale soltanto nel punto della condizione iniziale , ovvero in $y(0)=3$ nell 'esempio che ho scritto sopra , io però penso che dovrei verificare l'esistenza e la limitatezza di questa derivata per tutti i valori che prende la $y$ quando la $x$ varia nell' intervallo massimale.
Grazie per l'aiuto.
Risposte
bata osservare che la funzione
\[f(x;y):=\frac{2y^2}{1-x^2}\]
è di classe $C^{\infty} (\Omega )$ dove $\Omega\subset\RR^2$ è l'insieme in cui è definita la funzione $f;$ in qunto tale essa sarà localmente lipscitziana rispetto alla seconda variabile, pertanto il teorema di esistenza ed unicità locale si applica e garantisce l'esistenza e l'unicità della soluzione del problema di Cauchy assegnato.
\[f(x;y):=\frac{2y^2}{1-x^2}\]
è di classe $C^{\infty} (\Omega )$ dove $\Omega\subset\RR^2$ è l'insieme in cui è definita la funzione $f;$ in qunto tale essa sarà localmente lipscitziana rispetto alla seconda variabile, pertanto il teorema di esistenza ed unicità locale si applica e garantisce l'esistenza e l'unicità della soluzione del problema di Cauchy assegnato.
Nel caso in cui si volesse procedere nel modo che che ho descritto nella domanda , per quali valori di $ y $ dovrei vedere se esiste limitata la derivata parziale rispetto $ y$ della funzione ?
up
la derivata parziale è
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{4y}{1+x^2}\]
da cui
\[\left|\frac{4y}{1+x^2}\right|=\frac{4|y|}{1+x^2}\le 4|y|; \]
riesci a controllare la $y$ quando $x$ varia in $(-1;1)$?
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{4y}{1+x^2}\]
da cui
\[\left|\frac{4y}{1+x^2}\right|=\frac{4|y|}{1+x^2}\le 4|y|; \]
riesci a controllare la $y$ quando $x$ varia in $(-1;1)$?
ok grazie ..
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